Olimpíadas ⇒ (Olimpíada Cearense - 1991) sequência Tópico resolvido

[matbatrobin]

Determine a soma dos [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

primeiros termos da sequência
[tex3]1,\,(1+2),\,(1+2+2^2),\,(1+2+2^2+2^3),\,...,\,(1+2+2^2+...+2^{n-1})[/tex3]

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[tex3]1,\,(1+2),\,(1+2+2^2),\,(1+2+2^2+2^3),\,...,\,(1+2+2^2+...+2^{n-1})[/tex3]

[triplebig]

Cada parcela constitui uma P.G. Achando o termo [tex3]a_n[/tex3]

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[tex3]a_n[/tex3]

:

[tex3]a_n=1+2+2^2+\dots+2^{n-1}=\frac{1(2^n-1)}{2-1}=2^n-1[/tex3]

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[tex3]a_n=1+2+2^2+\dots+2^{n-1}=\frac{1(2^n-1)}{2-1}=2^n-1[/tex3]

O exercício pede o seguinte valor:

[tex3]\sum^n_{i=1}a_i=\sum^n_{i=1}2^i-1=-n+\sum^n_{i=1}2^i[/tex3]

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[tex3]\sum^n_{i=1}a_i=\sum^n_{i=1}2^i-1=-n+\sum^n_{i=1}2^i[/tex3]

Observe que a soma constitui outra P.G.:

[tex3]\sum^n_{i=1}2^i=2+2^2+2^3+\dots+2^n=\frac{2(2^n-1)}{2-1}=2^{n+1}-2[/tex3]

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[tex3]\sum^n_{i=1}2^i=2+2^2+2^3+\dots+2^n=\frac{2(2^n-1)}{2-1}=2^{n+1}-2[/tex3]

Assim a soma pedida é

[tex3]\boxed{2^{n+1}-n-2}[/tex3]

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[tex3]\boxed{2^{n+1}-n-2}[/tex3]