Questão movida conforme a regra 6 da maratona:
(Estados Unidos 1973) Sejam p,q e r primos distintos, prove que [tex3]\sqrt[3]{p}, \sqrt[3]{q}[/tex3]
e [tex3]\sqrt[3]{r}[/tex3]
não podem ser termos de uma progressão aritmética.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Olimpíadas ⇒ Questão retirada da I Maratona Olímpica de Teoria dos Números Tópico resolvido
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Set 2020
27
00:31
Questão retirada da I Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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Set 2020
27
01:09
Re: Questão retirada da I Maratona Olímpica de Teoria dos Números
Como p,q e r são primos distintos, podemos supor sem perda de generalidade: [tex3]\sqrt[3]{p}<\sqrt[3]{q}<\sqrt[3]{r}[/tex3]
Então, supondo que esses termos estão em progressão aritmética e sendo "x" a razão, temos que:
[tex3]\begin{cases}
\sqrt[3]{r}=\sqrt[3]{p}+ax \space \space \space \space (I)\\
\sqrt[3]{q}=\sqrt[3]{p}+bx \space \space \space \space (II)
\end{cases}[/tex3]
Onde [tex3]a>b [/tex3] e "a" e "b" são números inteiros.
Fazendo: [tex3]b\cdot (I) - a\cdot (II) [/tex3] temos que:
[tex3]b\sqrt[3]{r}-a\sqrt[3]{q}=b\sqrt[3]{p}-a\sqrt[3]{p}[/tex3]
[tex3]b^3r-a^3q -3ab\sqrt[3]{qr}\cdot ( b\sqrt[3]{r}-a\sqrt[3]{q}) = p\cdot (b-a)^3[/tex3]
[tex3]b^3r-a^3q -3ab\sqrt[3]{qr}\cdot ( b\sqrt[3]{p}-a\sqrt[3]{p}) = p\cdot (b-a)^3[/tex3]
[tex3]b^3r-a^3q -3ab\sqrt[3]{qrp}\cdot ( b-a) = p\cdot (b-a)^3[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{qrp} = \frac{p\cdot (b-a)^3-b^3r+a^3q}{-3ab\cdot (b-a)}[/tex3]
O lado esquerdo é irracional, enquanto o direito é racional. Absurdo.
. Então, supondo que esses termos estão em progressão aritmética e sendo "x" a razão, temos que:
[tex3]\begin{cases}
\sqrt[3]{r}=\sqrt[3]{p}+ax \space \space \space \space (I)\\
\sqrt[3]{q}=\sqrt[3]{p}+bx \space \space \space \space (II)
\end{cases}[/tex3]
Onde [tex3]a>b [/tex3] e "a" e "b" são números inteiros.
Fazendo: [tex3]b\cdot (I) - a\cdot (II) [/tex3] temos que:
[tex3]b\sqrt[3]{r}-a\sqrt[3]{q}=b\sqrt[3]{p}-a\sqrt[3]{p}[/tex3]
[tex3]b^3r-a^3q -3ab\sqrt[3]{qr}\cdot ( b\sqrt[3]{r}-a\sqrt[3]{q}) = p\cdot (b-a)^3[/tex3]
[tex3]b^3r-a^3q -3ab\sqrt[3]{qr}\cdot ( b\sqrt[3]{p}-a\sqrt[3]{p}) = p\cdot (b-a)^3[/tex3]
[tex3]b^3r-a^3q -3ab\sqrt[3]{qrp}\cdot ( b-a) = p\cdot (b-a)^3[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{qrp} = \frac{p\cdot (b-a)^3-b^3r+a^3q}{-3ab\cdot (b-a)}[/tex3]
O lado esquerdo é irracional, enquanto o direito é racional. Absurdo.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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