Olimpíadas ⇒ (Canadá - 98) Função máximo inteiro Tópico resolvido

[Deleted User 23699]

Determine o número de soluções reais a da equação:

[tex3]\lfloor{\frac{a}{2}}\rfloor+\lfloor{\frac{a}{3}}\rfloor+\lfloor{\frac{a}{5}}\rfloor=a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lfloor{\frac{a}{2}}\rfloor+\lfloor{\frac{a}{3}}\rfloor+\lfloor{\frac{a}{5}}\rfloor=a[/tex3]

Resposta

---

30

[undefinied3]

[tex3]a=30b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=30b[/tex3]

Vou usar a notação [] só pra facilitar minha vida no latex.
[tex3][15b]+[10b]+[6b]=30b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][15b]+[10b]+[6b]=30b[/tex3]

[tex3]b=c+x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b=c+x[/tex3]

, com c inteiro e x não inteiro.

[tex3]15c+[15x]+10c+[10x]+6c+[6x]=30c+30x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]15c+[15x]+10c+[10x]+6c+[6x]=30c+30x[/tex3]

[tex3]c+[15x]+[10x]+[6x]=30x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c+[15x]+[10x]+[6x]=30x[/tex3]

O lado esquerdo é inteiro, então o lado direito também deve ser. Mas então x é divisor de 30 e também [tex3]0 \leq x < 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0 \leq x < 1[/tex3]

[tex3]x \in \{0,\frac{1}{2}, \frac{1}{3},\frac{2}{3}, \frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5},\frac{1}{6},\frac{5}{6},\frac{1}{10},\frac{3}{10},\frac{7}{10},\frac{9}{10},\frac{1}{15},\frac{2}{15}, \frac{4}{15}, \frac{7}{15},\frac{8}{15},\frac{11}{15},\frac{13}{15},\frac{14}{15},\frac{1}{30},\frac{7}{30},\frac{11}{30},\frac{13}{30},\frac{17}{30},\frac{19}{30},\frac{23}{30},\frac{29}{30} \} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x \in \{0,\frac{1}{2}, \frac{1}{3},\frac{2}{3}, \frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5},\frac{1}{6},\frac{5}{6},\frac{1}{10},\frac{3}{10},\frac{7}{10},\frac{9}{10},\frac{1}{15},\frac{2}{15}, \frac{4}{15}, \frac{7}{15},\frac{8}{15},\frac{11}{15},\frac{13}{15},\frac{14}{15},\frac{1}{30},\frac{7}{30},\frac{11}{30},\frac{13}{30},\frac{17}{30},\frac{19}{30},\frac{23}{30},\frac{29}{30} \} [/tex3]

Que são 30 soluções diferentes.

Escolhido x, c está bem determinado, pois já impomos a condição necessária para c ser inteiro. Determinados x e c, a está determinado e temos uma solução. Então há uma bijeção na quantidade de soluções para a e para x.