Olimpíadas

Para que n = 1, 2, ..., seja [tex3]d_n=mdc(n^2+1995, (n+1)^2+1995)[/tex3] . Ache o maior valor possível que d_n pode assumir.

Resposta

7981

Incrivelmente eu vi uma questão muito parecida ontem;

Bem, se [tex3]d_n = mdc(n^2+1995, (n+1)^2+1995)[/tex3] então [tex3]d_n \mid n^2+1995[/tex3] e [tex3]d_n \mid (n+1)^2 +1995[/tex3] logo [tex3]d_n \mid [(n+1)^2+1995]-(n^2+1995)=2n+1[/tex3] e [tex3]d_n \mid n^2+1995[/tex3] por fim [tex3]d_n \mid 4(n^2+1995)-(2n+1)(2n-1)=4 \cdot 1995+1=7981[/tex3] e assim [tex3]d_n \le 7981,~ \forall n[/tex3]
Agora só falta provar que, de fato, existe um [tex3]n[/tex3] tal que [tex3]d_n = 7981.[/tex3] Para isso basta considerar [tex3]n=2\cdot 1995[/tex3] pois assim

[tex3]d_{2\cdot 1995}=[/tex3]

[tex3]mdc (1995 +4\cdot 1995^2, ~1995+ (2\cdot 1995+1)^2)=[/tex3]

[tex3]mdc[1995(4\cdot 1995+1),~~1995+4\cdot 1995^2+4\cdot 1995 +1]=[/tex3]

[tex3]mdc[(4\cdot 1995+1)\cdot 1995, (4\cdot 1995+1)\cdot (1995+1)]=[/tex3]

[tex3]7981\cdot {mdc(1995,1996)}=7981[/tex3]

então o valor máximo de [tex3]d_n[/tex3] é de fato [tex3]7981[/tex3]

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