[tex3]2a^2=3b^3[/tex3]
Resposta
[tex3]a=(2^{1+3t}3^{2+3k})m^3\\
b=(2^{1+2t}3^{1+2k})m^2[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Olimpíadas ⇒ (Canadá) Propriedades da divisibilidade
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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Deleted User 23699
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Ago 2020
19
23:34
(Canadá) Propriedades da divisibilidade
Determine todos os pares a e b de inteiros positivos satisfazendo
[tex3]2a^2=3b^3[/tex3]
[tex3]a=(2^{1+3t}3^{2+3k})m^3\\
b=(2^{1+2t}3^{1+2k})m^2[/tex3]
[tex3]2a^2=3b^3[/tex3]
[tex3]a=(2^{1+3t}3^{2+3k})m^3\\
b=(2^{1+2t}3^{1+2k})m^2[/tex3]
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Deleted User 24633
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Ago 2020
20
11:15
Re: (Canadá) Propriedades da divisibilidade
Dado qualquer natural, podemos escrevê-lo na forma [tex3]2^x\cdot 3^y\cdot s[/tex3]
onde [tex3]s[/tex3]
é um natural com [tex3]mdc(2,s)=mdc(3,s)=1[/tex3]
e onde [tex3]x,y[/tex3]
são inteiros não negativos (podendo até ser nulos). Em geral, isso pode ser feito om quaisquer primos, no caso desse problema, os únicos primos que parecem ser importantes são [tex3]2[/tex3]
e [tex3]3.[/tex3]
Assim podemos escrever [tex3]a=2^{x}\cdot 3^{y}\cdot i[/tex3] e [tex3]b=2^{z}\cdot 3^w \cdot j[/tex3] com [tex3]x,y,z,w \in \mathbb{N} \cup \{0\}[/tex3] e [tex3]mdc(2,i)=mdc(3,i)=mdc(2,j)=mdc(3,j)=1[/tex3]
Assim [tex3]2\cdot 2^{2x}\cdot 3^{2y}\cdot i^2=3\cdot 2^{3z}\cdot 3^{3w}\cdot j^3 \iff \boxed{2^{2x+1}\cdot 3^{2y}\cdot i^2 = 2^{3z}\cdot 3^{3w+1}\cdot j^2~~(*)}[/tex3]
Dessa forma [tex3]2^{2x+1} \mid 2^{3z}\cdot 3^{3w+1}\cdot j^2[/tex3] mas como [tex3]mdc(3^{2x+1}j^2,2)=1[/tex3] segue que [tex3]2^{2x+1}\mid 2^{3z}.[/tex3] Da mesma forma, prova-se que [tex3]2^{3z} \mid 2^{2x+1}[/tex3] ou seja [tex3]2^{2x+1}=2^{3z}[/tex3] e [tex3]\boxed{2x+1=3z.}[/tex3]
Pelos mesmos argumentos mostra-se que [tex3]\boxed{2y=3w+1.}[/tex3] Substituindo em [tex3](*)[/tex3] vem [tex3]i^2=j^3[/tex3] então [tex3]i^2[/tex3] é um cubo perfeito logo [tex3]i[/tex3] é um cubo perfeito isto é [tex3]i=m^3[/tex3] para algum [tex3]m \in \mathbb{Z}[/tex3] e logo [tex3]m^6=j^3[/tex3] ou seja [tex3]j=m^2.[/tex3]
Agora concentre no sistema [tex3]\begin{cases} 2x+1=3z \\ 2y=3w+1 \end{cases}[/tex3]
da primeira segue que [tex3]z[/tex3] é par ou seja [tex3]\boxed{z=2t+1}[/tex3] para algum [tex3]t \in \mathbb{N} \cup \{0\}.[/tex3] Então [tex3]2x=3z-1=3(2t+1)-1=6t+2 \Rightarrow \boxed{x=3t+1}[/tex3]
Da mesma forma [tex3]\boxed{w=2k+1}[/tex3] e [tex3]y=3k+1[/tex3]
Logo
[tex3]a=2^{3t+1}\cdot 3^{3k+1}\cdot m^3[/tex3]
[tex3]b=2^{2t+1}\cdot 3^{2k+1}\cdot m^2[/tex3]
Assim podemos escrever [tex3]a=2^{x}\cdot 3^{y}\cdot i[/tex3] e [tex3]b=2^{z}\cdot 3^w \cdot j[/tex3] com [tex3]x,y,z,w \in \mathbb{N} \cup \{0\}[/tex3] e [tex3]mdc(2,i)=mdc(3,i)=mdc(2,j)=mdc(3,j)=1[/tex3]
Assim [tex3]2\cdot 2^{2x}\cdot 3^{2y}\cdot i^2=3\cdot 2^{3z}\cdot 3^{3w}\cdot j^3 \iff \boxed{2^{2x+1}\cdot 3^{2y}\cdot i^2 = 2^{3z}\cdot 3^{3w+1}\cdot j^2~~(*)}[/tex3]
Dessa forma [tex3]2^{2x+1} \mid 2^{3z}\cdot 3^{3w+1}\cdot j^2[/tex3] mas como [tex3]mdc(3^{2x+1}j^2,2)=1[/tex3] segue que [tex3]2^{2x+1}\mid 2^{3z}.[/tex3] Da mesma forma, prova-se que [tex3]2^{3z} \mid 2^{2x+1}[/tex3] ou seja [tex3]2^{2x+1}=2^{3z}[/tex3] e [tex3]\boxed{2x+1=3z.}[/tex3]
Pelos mesmos argumentos mostra-se que [tex3]\boxed{2y=3w+1.}[/tex3] Substituindo em [tex3](*)[/tex3] vem [tex3]i^2=j^3[/tex3] então [tex3]i^2[/tex3] é um cubo perfeito logo [tex3]i[/tex3] é um cubo perfeito isto é [tex3]i=m^3[/tex3] para algum [tex3]m \in \mathbb{Z}[/tex3] e logo [tex3]m^6=j^3[/tex3] ou seja [tex3]j=m^2.[/tex3]
Agora concentre no sistema [tex3]\begin{cases} 2x+1=3z \\ 2y=3w+1 \end{cases}[/tex3]
da primeira segue que [tex3]z[/tex3] é par ou seja [tex3]\boxed{z=2t+1}[/tex3] para algum [tex3]t \in \mathbb{N} \cup \{0\}.[/tex3] Então [tex3]2x=3z-1=3(2t+1)-1=6t+2 \Rightarrow \boxed{x=3t+1}[/tex3]
Da mesma forma [tex3]\boxed{w=2k+1}[/tex3] e [tex3]y=3k+1[/tex3]
Logo
Resposta
[tex3]a=2^{3t+1}\cdot 3^{3k+1}\cdot m^3[/tex3]
[tex3]b=2^{2t+1}\cdot 3^{2k+1}\cdot m^2[/tex3]
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