Olimpíadas(Canadá) Propriedades da divisibilidade

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Ago 2020 19 23:34

(Canadá) Propriedades da divisibilidade

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

Determine todos os pares a e b de inteiros positivos satisfazendo
[tex3]2a^2=3b^3[/tex3]
Resposta

[tex3]a=(2^{1+3t}3^{2+3k})m^3\\
b=(2^{1+2t}3^{1+2k})m^2[/tex3]




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Ago 2020 20 11:15

Re: (Canadá) Propriedades da divisibilidade

Mensagem não lida por Deleted User 24633 »

Dado qualquer natural, podemos escrevê-lo na forma [tex3]2^x\cdot 3^y\cdot s[/tex3] onde [tex3]s[/tex3] é um natural com [tex3]mdc(2,s)=mdc(3,s)=1[/tex3] e onde [tex3]x,y[/tex3] são inteiros não negativos (podendo até ser nulos). Em geral, isso pode ser feito om quaisquer primos, no caso desse problema, os únicos primos que parecem ser importantes são [tex3]2[/tex3] e [tex3]3.[/tex3]

Assim podemos escrever [tex3]a=2^{x}\cdot 3^{y}\cdot i[/tex3] e [tex3]b=2^{z}\cdot 3^w \cdot j[/tex3] com [tex3]x,y,z,w \in \mathbb{N} \cup \{0\}[/tex3] e [tex3]mdc(2,i)=mdc(3,i)=mdc(2,j)=mdc(3,j)=1[/tex3]

Assim [tex3]2\cdot 2^{2x}\cdot 3^{2y}\cdot i^2=3\cdot 2^{3z}\cdot 3^{3w}\cdot j^3 \iff \boxed{2^{2x+1}\cdot 3^{2y}\cdot i^2 = 2^{3z}\cdot 3^{3w+1}\cdot j^2~~(*)}[/tex3]
Dessa forma [tex3]2^{2x+1} \mid 2^{3z}\cdot 3^{3w+1}\cdot j^2[/tex3] mas como [tex3]mdc(3^{2x+1}j^2,2)=1[/tex3] segue que [tex3]2^{2x+1}\mid 2^{3z}.[/tex3] Da mesma forma, prova-se que [tex3]2^{3z} \mid 2^{2x+1}[/tex3] ou seja [tex3]2^{2x+1}=2^{3z}[/tex3] e [tex3]\boxed{2x+1=3z.}[/tex3]

Pelos mesmos argumentos mostra-se que [tex3]\boxed{2y=3w+1.}[/tex3] Substituindo em [tex3](*)[/tex3] vem [tex3]i^2=j^3[/tex3] então [tex3]i^2[/tex3] é um cubo perfeito logo [tex3]i[/tex3] é um cubo perfeito isto é [tex3]i=m^3[/tex3] para algum [tex3]m \in \mathbb{Z}[/tex3] e logo [tex3]m^6=j^3[/tex3] ou seja [tex3]j=m^2.[/tex3]

Agora concentre no sistema [tex3]\begin{cases} 2x+1=3z \\ 2y=3w+1 \end{cases}[/tex3]
da primeira segue que [tex3]z[/tex3] é par ou seja [tex3]\boxed{z=2t+1}[/tex3] para algum [tex3]t \in \mathbb{N} \cup \{0\}.[/tex3] Então [tex3]2x=3z-1=3(2t+1)-1=6t+2 \Rightarrow \boxed{x=3t+1}[/tex3]
Da mesma forma [tex3]\boxed{w=2k+1}[/tex3] e [tex3]y=3k+1[/tex3]
Logo
Resposta

[tex3]a=2^{3t+1}\cdot 3^{3k+1}\cdot m^3[/tex3]
[tex3]b=2^{2t+1}\cdot 3^{2k+1}\cdot m^2[/tex3]




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