Olimpíadas(Argentina) Representação decimal Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Zhadnyy
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(Argentina) Representação decimal

Mensagem não lida por Zhadnyy »

N = 9 + 99 + 999 + ... + 99999...999999 onde cada somando tem um digito 9 mais que o anterior e o último somando é o número formado por 1998 dígitos iguais a 9. Quantas vezes aparecerá o dígito 1 no número N?

O livro não possui gabarito




Deleted User 24633
6 - Doutor
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Ago 2020 18 20:42

Re: (Argentina) Representação decimal

Mensagem não lida por Deleted User 24633 »

Zhadnyy o truque é escrever [tex3]\underbrace{99....99}_{n}[/tex3] como [tex3]10^n-1[/tex3]
[tex3]9+99+999+...+\underbrace{99999...999999}_{1998}=[/tex3]
[tex3](10-1)+(10^2-1)+(10^3-1)+...+(10^{1998}-1)=[/tex3]
[tex3](10+10^2+10^3+10^4...+10^{1998})-1998=(11.110-1998)+10^5+10^6+...+10^{1998}=[/tex3]
[tex3]9112+10^5+10^6+...+10^{1998}=\underbrace{11.....11}_{1994}09112[/tex3]

no qual o número [tex3]1 [/tex3] aparece [tex3]1994+2=1996[/tex3] vezes

Última edição: Deleted User 24633 (Ter 18 Ago, 2020 20:44). Total de 2 vezes.



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