Olimpíadas ⇒ (Cone Sul) Geometria Plana Tópico resolvido

[Deleted User 24633]

Seja [tex3]ABC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ABC[/tex3]

um triângulo acutângulo e sejam [tex3]AN, BM[/tex3]

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[tex3]AN, BM[/tex3]

e [tex3]CP[/tex3]

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[tex3]CP[/tex3]

as alturas relativas aos lados [tex3]BC, CA[/tex3]

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[tex3]BC, CA[/tex3]

e [tex3]AB,[/tex3]

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[tex3]AB,[/tex3]

respectivamente. Sejam [tex3]R, S[/tex3]

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[tex3]R, S[/tex3]

as projeções de [tex3]N[/tex3]

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[tex3]N[/tex3]

sobre os lados [tex3]AB, CA,[/tex3]

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[tex3]AB, CA,[/tex3]

respectivamente, e [tex3]Q, W[/tex3]

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[tex3]Q, W[/tex3]

as projeções de N sobre as alturas [tex3]BM, CP[/tex3]

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[tex3]BM, CP[/tex3]

, respectivamente.

(a) Mostre que [tex3]R, Q, W, S[/tex3]

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[tex3]R, Q, W, S[/tex3]

são colineares.
(b) Mostre que [tex3]MP = RS − QW.[/tex3]

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[tex3]MP = RS − QW.[/tex3]

[FelipeMartin]

posta com desenho, please.

[Ittalo25]

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a)
- Seja H o ortocentro de ABC
- NHMC é cíclico, ou seja, N está na circunferência circunscrita de HMC.
- Portanto SWQ é a reta de Simson de HMC, assim S,W e Q são colineares.
- De modo análogo WQR são colineares e portanto S,W,Q e R são colineares.

[Ittalo25]

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b)
Aconselho fortemente que você construa a figura do zero, se não fica difícil de entender.

- Em SWNC marque os ângulos pretos.
- CMPB é cíclico também, então <PBM é preto.
- QRBN vai mais um preto porque é cíclico.
- Em SWNC marque os vermelhos.
- MPBC é cíclico, então <BMP é vermelho.
- MAPH é cíclico, então <PAH é vermelho também.
- Olhando para a soma dos ângulos dos triângulos CSW e BPM, vê-se que <MPH=<SWC, logo SR e MP são paralelos.

Semelhança em APM e ARS:
[tex3]RS = \frac{MP \cdot AR}{AP}[/tex3]

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[tex3]RS = \frac{MP \cdot AR}{AP}[/tex3]

Semelhança em MPH e WHQ:
[tex3]QW = \frac{MP \cdot WH}{HP}[/tex3]

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[tex3]QW = \frac{MP \cdot WH}{HP}[/tex3]

O enunciado diz que:

[tex3]RS-QW = MP \cdot (\frac{AR}{AP}-\frac{WH}{HP}) [/tex3]

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[tex3]RS-QW = MP \cdot (\frac{AR}{AP}-\frac{WH}{HP}) [/tex3]

Isso acontece se: [tex3]\frac{AR}{AP}-\frac{WH}{HP}= 1\rightarrow \boxed {AR\cdot HP = WH \cdot AP + AP \cdot HP} [/tex3]

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[tex3]\frac{AR}{AP}-\frac{WH}{HP}= 1\rightarrow \boxed {AR\cdot HP = WH \cdot AP + AP \cdot HP} [/tex3]

Semelhança em APH e ARN:
[tex3]AR \cdot HP = AP \cdot NR [/tex3]

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[tex3]AR \cdot HP = AP \cdot NR [/tex3]

Substituindo la:
[tex3]AR\cdot HP = WH \cdot AP + AP \cdot HP [/tex3]

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[tex3]AR\cdot HP = WH \cdot AP + AP \cdot HP [/tex3]

[tex3]AP \cdot NR = WH \cdot AP + AP \cdot HP [/tex3]

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[tex3]AP \cdot NR = WH \cdot AP + AP \cdot HP [/tex3]

[tex3]NR = WH + HP [/tex3]

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[tex3]NR = WH + HP [/tex3]

O que é verdade, já que PRNW é retângulo com PW = NR
Então fica provado.