Olimpíadas ⇒ (POTI) Semelhança de triângulos Tópico resolvido

[Deleted User 24633]

Seja [tex3]P[/tex3]

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[tex3]P[/tex3]

um ponto no interior do triângulo equilátero [tex3]ABC.[/tex3]

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[tex3]ABC.[/tex3]

Por [tex3]P[/tex3]

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[tex3]P[/tex3]

traçamos três retas paralelas aos lados de [tex3]ABC[/tex3]

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[tex3]ABC[/tex3]

, determinando três triângulos menores, de áreas [tex3]4, 9[/tex3]

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[tex3]4, 9[/tex3]

e [tex3]49.[/tex3]

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[tex3]49.[/tex3]

Determine a área do triângulo [tex3]ABC.[/tex3]

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[tex3]ABC.[/tex3]

[Ittalo25]

uy.png (44.21 KiB) Exibido 863 vezes

Os 3 triângulos menores serão equiláteros, já que por causa das paralelas têm ângulos congruentes aos ângulos de ABC.

Também por causa das paralelas, são formados os paralelogramos conforme a imagem.

[tex3]\begin{cases}
\frac{verde^2 \cdot sen(60^o)}{2}=9 \\
\frac{vermelho^2 \cdot sen(60^o)}{2}=4 \\
\frac{azul^2 \cdot sen(60^o)}{2}=49
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
\frac{verde^2 \cdot sen(60^o)}{2}=9 \\
\frac{vermelho^2 \cdot sen(60^o)}{2}=4 \\
\frac{azul^2 \cdot sen(60^o)}{2}=49
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
verde= \sqrt{\frac{36}{\sqrt{3}}} \\
vermelho=\sqrt{\frac{16}{\sqrt{3}}} \\
azul=\sqrt{\frac{196}{\sqrt{3}}}
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
verde= \sqrt{\frac{36}{\sqrt{3}}} \\
vermelho=\sqrt{\frac{16}{\sqrt{3}}} \\
azul=\sqrt{\frac{196}{\sqrt{3}}}
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
verde \cdot h_1=18 \\
vermelho\cdot h_2 = 8 \\
azul \cdot h_3= 98
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
verde \cdot h_1=18 \\
vermelho\cdot h_2 = 8 \\
azul \cdot h_3= 98
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
h_1 = \frac{18}{verde} \\
h_2=\frac{8}{vermelho} \\
h_3=\frac{98}{azul}
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
h_1 = \frac{18}{verde} \\
h_2=\frac{8}{vermelho} \\
h_3=\frac{98}{azul}
\end{cases}[/tex3]

[tex3]2[ABC] = (verde+vermelho+azul) \cdot \overbrace{{ ( h_1+h_2+h_3)}}^{\hbox{Teorema de Viviani}} [/tex3]

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[tex3]2[ABC] = (verde+vermelho+azul) \cdot \overbrace{{ ( h_1+h_2+h_3)}}^{\hbox{Teorema de Viviani}} [/tex3]

[tex3]2[ABC] = (\sqrt{\frac{36}{\sqrt{3}}}+\sqrt{\frac{16}{\sqrt{3}}}+\sqrt{\frac{196}{\sqrt{3}}}) \cdot \sqrt[4]{3}\cdot (\frac{8}{\sqrt{16}}+\frac{18}{\sqrt{36}}+\frac{98}{\sqrt{196}}) = [/tex3]

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[tex3]2[ABC] = (\sqrt{\frac{36}{\sqrt{3}}}+\sqrt{\frac{16}{\sqrt{3}}}+\sqrt{\frac{196}{\sqrt{3}}}) \cdot \sqrt[4]{3}\cdot (\frac{8}{\sqrt{16}}+\frac{18}{\sqrt{36}}+\frac{98}{\sqrt{196}}) = [/tex3]

[tex3]2[ABC] = \frac{24}{\sqrt[4]{3}} \cdot \sqrt[4]{3}\cdot (2+3+7) = [/tex3]

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[tex3]2[ABC] = \frac{24}{\sqrt[4]{3}} \cdot \sqrt[4]{3}\cdot (2+3+7) = [/tex3]

[tex3]\boxed {[ABC] = 144 } [/tex3]

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[tex3]\boxed {[ABC] = 144 } [/tex3]

[Deleted User 24633]

Um... interpretei a questão errado... acho que tem uma solução mais elementar por semelhança de triângulos;

O triângulo equilátero de lado [tex3]verde[/tex3]

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[tex3]verde[/tex3]

(de área [tex3]9[/tex3]

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[tex3]9[/tex3]

) é semelhante ao triângulo grande de lado [tex3]verde+vermelho+azul.[/tex3]

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[tex3]verde+vermelho+azul.[/tex3]

Se [tex3]a^2[/tex3]

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[tex3]a^2[/tex3]

é a área do triângulo equilátero maior então [tex3]\dfrac{verde}{verde+vermelho+azul}=\dfrac{3}a[/tex3]

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[tex3]\dfrac{verde}{verde+vermelho+azul}=\dfrac{3}a[/tex3]

(a razão de semelhança é a raiz quadrada da razão entre as áreas)
Analogamente [tex3]\dfrac{vermelho}{vermelho+verde+azul}=\dfrac{2}a[/tex3]

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[tex3]\dfrac{vermelho}{vermelho+verde+azul}=\dfrac{2}a[/tex3]

e [tex3]\dfrac{azul}{verde+vermelho+azul}=\dfrac{7}a[/tex3]

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[tex3]\dfrac{azul}{verde+vermelho+azul}=\dfrac{7}a[/tex3]

Somando todas as expressões obtidas [tex3]\dfrac{verde+vermelho+azul}{verde+vermelho+azul}=\dfrac{3+2+7}a[/tex3]

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[tex3]\dfrac{verde+vermelho+azul}{verde+vermelho+azul}=\dfrac{3+2+7}a[/tex3]

ou seja [tex3]\dfrac{12}a=1[/tex3]

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[tex3]\dfrac{12}a=1[/tex3]

e [tex3]a=12.[/tex3]

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[tex3]a=12.[/tex3]

Então a área do quadrado maior é [tex3]a^2=144.[/tex3]

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[tex3]a^2=144.[/tex3]

[Ittalo25]

Isso aí, bem mais simples