Olimpíadas

joaovitor

Considere os pontos [tex3]M[/tex3] e [tex3]N[/tex3] sobre os lados [tex3]BC[/tex3] e [tex3]CD[/tex3] do quadrado [tex3]ABCD[/tex3] , tais que o ângulo [tex3]MAN[/tex3] mede [tex3]45°[/tex3]

Prove que a diagonal [tex3]BD[/tex3] divide o triângulo [tex3]AMN[/tex3] em duas partes de mesma área.

Olá,

Segue o anexo abaixo:

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Vamos chamar o lado do quadrado de L e o lado AN= a e AM = b

Assim: asen(45+[tex3]\theta) [/tex3] = L
bcos([tex3]\theta) [/tex3] = L

Vamos aplicar lei dos senos no triangulo A(pontinho)D , (esqueci de nomear o vertice , mas nao importa):

[tex3]\frac{x}{sen45} = \frac{asen(45+\theta )}{sen(90+\theta )}[/tex3]

x= [tex3]\frac{asen(45+\theta )sen45}{sen(90+\theta )}[/tex3]

Vamos aplicar lei dos senos no triangulo A(pontinho')B:

[tex3]\frac{y}{sen45} = \frac{bcos\theta}{sen(135-\theta )}[/tex3]

y= [tex3]\frac{bcos\theta sen45}{sen(135-\theta )}[/tex3]

Agora , subsitituindo sen(90+[tex3]\theta )[/tex3] = cos(-[tex3]\theta )[/tex3] = cos [tex3]\theta [/tex3] e sen(135-[tex3]\theta )[/tex3] = sen(45+[tex3]\theta )[/tex3]

Multiplicando xy e simplificando, encontramos que:

xy = ab [tex3]sen^{2}45[/tex3]

xy= [tex3]\frac{ab}{2}[/tex3]

Usando a formula da area do triangulo : [tex3]\frac{OPsen\alpha }{2}[/tex3]

Voce encontrará que a area do triangulo menor é a metade do triangulo maior.

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