Olimpíadas

Sejam [tex3]n[/tex3] um inteiro positivo maior que [tex3]1[/tex3] e [tex3]p[/tex3] um primo positivo tal que [tex3]n[/tex3] divide [tex3]p-1[/tex3] e [tex3]p[/tex3] divide [tex3]n^3-1.[/tex3] Mostre que [tex3]4p-3[/tex3] é um quadrado perfeito.

Se [tex3]n|p-1 [/tex3] , então [tex3]n \leq p-1 [/tex3] , ou seja [tex3]n-1 \leq p-2 < p [/tex3]

O enunciado diz que [tex3]p | (n-1)(n^2+n+1)[/tex3] , sendo assim [tex3]p | (n^2+n+1)[/tex3]

[tex3]n^2+n+1 = pk [/tex3]

Então:
[tex3]n|pk-1 [/tex3]
[tex3]n|pk-1-k\cdot (p-1) [/tex3]
[tex3]n|k-1 [/tex3]
[tex3]nx= k-1 [/tex3]

[tex3]n^2+n+1 = pk [/tex3]
[tex3]n^2+n+1 = p(nx+1) [/tex3]
[tex3]n\cdot (n+1-px) = p-1 [/tex3]
[tex3]n+1 >px [/tex3]
[tex3]n \geq px [/tex3]
mas pelo enunciado
[tex3]n \leq p-1 [/tex3]

Ou seja: [tex3]x=0 \rightarrow k=1 [/tex3]
[tex3]n^2+n+1 = p \rightarrow \boxed {4p-3 = (2n+1)^2}[/tex3]

Olimpíadas ⇒ (POTI) Divisibilidade Tópico resolvido

(POTI) Divisibilidade

Re: (POTI) Divisibilidade

Olimpíadas ⇒ (POTI) Divisibilidade Tópico resolvido

(POTI) Divisibilidade

Re: (POTI) Divisibilidade

Entrar • Registrar