Olimpíadas ⇒ Olimpíada britânica - Teorema de Desargues Tópico resolvido

[Ittalo25]

Seja ABC um triângulo, e sejam D, E e F os pés das alturas partindo de A, B e C para BC, CA e AB respectivamente. Sejam P, Q, R e S os pés das alturas partindo de D para BA, BE, CF e CA respectivamente. Prove que P, Q, R e S são colineares.

Comentário: Pela reta de Simsom é fácil ver que SRQ são colineares no triângulo EGC e que PQR são colineares no triângulo FGB, o que conclui a prova.
Mas essa questão está numa lista sobre o teorema de Desargues, gostaria de uma solução usando esse conceito, só que não enxergo os triângulos para usar esse teorema.

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[FelipeMartin]

a questão original é em inglês?

[Ittalo25]

a questão original é em inglês?

bmo1-q5-a.jpg (21.27 KiB) Exibido 893 vezes

[FelipeMartin]

a ideia provavelmente é encontrar triângulos com perspectiva central que implique que [tex3]P,Q,R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P,Q,R[/tex3]

e [tex3]S[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S[/tex3]

estejam sobre um eixo de perspectiva axial.
primeiro pensei em DRQ e AEF mas os lados são todos paralelos apesar de haver a perspectiva em G.

O bom é que os triângulos não precisam ser semelhantes. Estou pensando em G ou D como centro de perspectiva, mas é difícil encontrar os triângulos mesmo.

[FelipeMartin]

Então eu procurei um pouco na internet e encontrei o blog de um cara de oxford que resolveu esse problema. Ele menciona o teorema de desargues brevemente só pra provar rapidamente uns paralelismos pequenos. Assim:

DQP e CEF são perspectivos com respeito a B por isso QP é paralelo a EF
repetindo esse argumento mais 3 vezes dá pra provar que SP é paralelo a EF e que SRQP são alinhados.

Mas não parece haver uma solução direta do problema pelo teorema de desargues. Eu pelo menos não encontrei em lugar nenhum:
https://eventuallyalmosteverywhere.word ... s-theorem/