Olimpíadas ⇒ Cyberspace Mathematical) Geometria

[Ittalo25]

Seja ABC um triângulo tal que [tex3]AB>BC [/tex3]

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[tex3]AB>BC [/tex3]

e seja D um ponto variável sobre o segmento de reta BC. Seja E um ponto sobre a circunferência circunscrita do triângulo ABC no semiplano oposto de A em relação a BC tal que [tex3]<(BAE) = <(DAC) [/tex3]

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[tex3]<(BAE) = <(DAC) [/tex3]

. Seja I o incentro do triângulo ABD e seja J o incentro do triângulo ACE. Prove que a reta IJ passa por um ponto fixo que não depende de D.

[Ittalo25]

1.png (55.46 KiB) Exibido 1420 vezes

ACE e ADB têm os mesmos ângulos
A reta que contém I e J passa por um ponto G que não depende de D.

2.png (58.78 KiB) Exibido 1420 vezes

À medida que D tende a C, então I, J e G se transformam em um único ponto, sendo esse ponto o incentro de ABC.

Como formalizar isso?

[FelipeMartin]

acho que tem a ver com o fato das linhas [tex3]AI[/tex3]

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[tex3]AI[/tex3]

e [tex3]AJ[/tex3]

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[tex3]AJ[/tex3]

serem conjugadas isogonais com relação ao ângulo [tex3]A[/tex3]

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[tex3]A[/tex3]

do triângulo [tex3]\triangle ABC[/tex3]

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[tex3]\triangle ABC[/tex3]

.

Repare que [tex3]\angle BCE[/tex3]

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[tex3]\angle BCE[/tex3]

também é verde, é capaz que [tex3]J[/tex3]

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[tex3]J[/tex3]

e [tex3]I[/tex3]

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[tex3]I[/tex3]

sejam conjugados também!

[FelipeMartin]

ué, o incentro de [tex3]\triangle ABC[/tex3]

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[tex3]\triangle ABC[/tex3]

e de [tex3]\triangle ABD[/tex3]

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[tex3]\triangle ABD[/tex3]

estão teoricamente sobre a bissetriz do ângulo [tex3]B[/tex3]

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[tex3]B[/tex3]

mas não é o caso do seu desenho

[Ittalo25]

ué, o incentro de [tex3]\triangle ABC[/tex3]

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[tex3]\triangle ABC[/tex3]

e de [tex3]\triangle ABD[/tex3]

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[tex3]\triangle ABD[/tex3]

estão teoricamente sobre a bissetriz do ângulo [tex3]B[/tex3]

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[tex3]B[/tex3]

mas não é o caso do seu desenho

tty.png (52.77 KiB) Exibido 1381 vezes

o incentro de ABC é L....

À medida que D tende a C, os pontos G, J e I tendem a L

acredito que mais curioso do que saber como formalizar, é saber como descobrir isso apenas desenhando no papel.

[FelipeMartin]

eles tendem ao incentro, mas acho que o ponto fixo não é o incentro. Você viu na imagem ai que ele não está na reta. Deve ser algum centro de projeção.

Existe uma semelhança espiralar https://en.wikipedia.org/wiki/Spiral_similarity
entre ABD e ACE. Pode ajudar a encontrar esse centro

[Ittalo25]

mq.png (106.55 KiB) Exibido 1174 vezes

Fácil ver que <BDA = <ECA, portanto <IDA = <JCA.
Fazendo o circuncirculo de IDA e JCA, a intersecção F desses círculos.
I,J e F são colineares já que enxergam o mesmo arco (têm mesmo ângulo).

<IAD = <IAB, já que I é incentro de ABD.
<IAB = <JAC, portanto <JAC = <IAD.
E assim <JFC = <IFD
Portanto D,C e F são colineares.

Caçada de ângulos:
<ADF = <ABF + <BAD
<IDA = (180°-<ADF)/2
<BAD = 2<IAD
<DIA = 180°-<IDA-<IAD = 90°+<ABF/2
Como IDFA é cíclico: <DFA = 90°-<ABF/2
Portanto, pela soma dos ângulos de ABF: <BAF = 90°-<ABF/2
E assim ABF é isósceles com BA = BF independentemente da posição de D

[FelipeMartin]

definitivamente não é nada trivial