Essa semana aconteceu a primeira Cyberspace Mathematical, uma olimpíada online organizada pelo fórum art of problem solving.... vou deixar registrado algumas questões aqui no fórum.
Seja [tex3]f(x) = 3x^2+1[/tex3]
. Prove que para qualquer inteiro positivo n dado, o produto abaixo tem no máximo n divisores primos distintos.
[tex3]f(1) \cdot f(2) \cdot f(3) \cdot f(4) \cdot ...\cdot f(n) [/tex3]
Olimpíadas ⇒ Cyberspace Mathematical) Funções e primos Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jul 2020
16
15:40
Cyberspace Mathematical) Funções e primos
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
Jul 2020
18
11:10
Re: Cyberspace Mathematical) Funções e primos
Solução do Pedro Soares do grupo Rumo ao Ita.
Testando os casos pequenos percebe-se que funciona, então a hipótese de indução parte de [tex3]P = f(1) \cdot f(2) \cdot f(3) \cdot ...\cdot f(n-1) [/tex3]
A ideia é estimar um divisor primo (p) de [tex3]f(n) [/tex3] .
Se [tex3]p<n [/tex3] , então [tex3]n \equiv k \mod(p) [/tex3] onde [tex3]1 \leq k <n[/tex3] , e portanto p divide [tex3]f(k) [/tex3] , ou seja, divide P também.
Se [tex3]p>n [/tex3] , perceba que [tex3]3n^2+1 \equiv 3(p-n)^2+1 \equiv 0 \mod(p) [/tex3] , ou seja, p divide [tex3]f(p-n) [/tex3] .
Se [tex3]n<p<2n [/tex3] , então [tex3]0<p-n<n [/tex3] , isso significa que como p divide [tex3]f(p-n) [/tex3] , então p divide P também.
Se [tex3]p>2n [/tex3] e existem 2 primos p e q que dividem [tex3]f(n) [/tex3] , então [tex3]pq>4n^2>3n^2+1 = f(n) [/tex3] , absurdo já que [tex3]pq [/tex3] divide [tex3]f(n) [/tex3] . Então existe no máximo 1 primo e está provado o enunciado.
Testando os casos pequenos percebe-se que funciona, então a hipótese de indução parte de [tex3]P = f(1) \cdot f(2) \cdot f(3) \cdot ...\cdot f(n-1) [/tex3]
A ideia é estimar um divisor primo (p) de [tex3]f(n) [/tex3] .
Se [tex3]p<n [/tex3] , então [tex3]n \equiv k \mod(p) [/tex3] onde [tex3]1 \leq k <n[/tex3] , e portanto p divide [tex3]f(k) [/tex3] , ou seja, divide P também.
Se [tex3]p>n [/tex3] , perceba que [tex3]3n^2+1 \equiv 3(p-n)^2+1 \equiv 0 \mod(p) [/tex3] , ou seja, p divide [tex3]f(p-n) [/tex3] .
Se [tex3]n<p<2n [/tex3] , então [tex3]0<p-n<n [/tex3] , isso significa que como p divide [tex3]f(p-n) [/tex3] , então p divide P também.
Se [tex3]p>2n [/tex3] e existem 2 primos p e q que dividem [tex3]f(n) [/tex3] , então [tex3]pq>4n^2>3n^2+1 = f(n) [/tex3] , absurdo já que [tex3]pq [/tex3] divide [tex3]f(n) [/tex3] . Então existe no máximo 1 primo e está provado o enunciado.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 2 Respostas
- 808 Exibições
-
Última msg por MatheusCNIME
-
- 0 Respostas
- 457 Exibições
-
Última msg por MatheusCNIME
-
- 2 Respostas
- 578 Exibições
-
Última msg por leozitz
-
- 1 Respostas
- 235 Exibições
-
Última msg por leozitz
-
- 2 Respostas
- 441 Exibições
-
Última msg por petras
