Olimpíadas ⇒ Bielorrúsia 1996 Tópico resolvido

[GSazevedo]

Inteiros m e n, satisfazem a igualdade

[tex3](m-n)^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](m-n)^2[/tex3]

= [tex3]4mn/m+n - 1[/tex3]

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[tex3]4mn/m+n - 1[/tex3]

a) Prove que m+n é um quadrado perfeito.
b) Encontre todos os pares (m,n) satisfazendo a equação acima.

[Deleted User 25040]

vc quer dizer [tex3]\frac{4mn}{m+n - 1}[/tex3]

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[tex3]\frac{4mn}{m+n - 1}[/tex3]

?

[Deleted User 25040]

supondo que vc queria ter dito que [tex3](m-n)^2=\frac{4mn}{m+n - 1}[/tex3]

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[tex3](m-n)^2=\frac{4mn}{m+n - 1}[/tex3]

[tex3]a = m + n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a = m + n[/tex3]

[tex3](m-n)^2=\frac{4mn}{m+n - 1} \implies (m+n)^2 - 4mn =\frac{4mn}{m+n - 1} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](m-n)^2=\frac{4mn}{m+n - 1} \implies (m+n)^2 - 4mn =\frac{4mn}{m+n - 1} [/tex3]

ali eu desenvolvi (m-n)² e reescrevi como (m+n)² - 4mn
[tex3]a^2 - 4mn =\frac{4mn}{a - 1} \implies(a-1)(a²-4mn)=4mn[/tex3]

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[tex3]a^2 - 4mn =\frac{4mn}{a - 1} \implies(a-1)(a²-4mn)=4mn[/tex3]

[tex3](a-1)a²-4mn(a-1)=4mn\implies(a-1)a^2=4mn(a-1)+4mn[/tex3]

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[tex3](a-1)a²-4mn(a-1)=4mn\implies(a-1)a^2=4mn(a-1)+4mn[/tex3]

colocando 4mn em evidencia
suponha [tex3]m\neq -n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m\neq -n[/tex3]

[tex3](a-1)a^2=4mn(a-1+1) \implies(a-1)a = 4mn\implies a=\frac{4mn}{a-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a-1)a^2=4mn(a-1+1) \implies(a-1)a = 4mn\implies a=\frac{4mn}{a-1}[/tex3]

com isso
[tex3]m + n = \frac{4mn}{m+n-1} = (m-n)^2 \implies m+ n = (m-n)^2[/tex3]

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[tex3]m + n = \frac{4mn}{m+n-1} = (m-n)^2 \implies m+ n = (m-n)^2[/tex3]

se m fosse igual a -n teriamos
[tex3](-2n)^2=\frac{4(-n)n}{-n+n - 1}\implies4n^2=\frac{-4n^2}{-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](-2n)^2=\frac{4(-n)n}{-n+n - 1}\implies4n^2=\frac{-4n^2}{-1}[/tex3]

oque é verdade para todo n

agora a segunda parte não consegui

se tiver algum erro na solução peço desculpas, já que tenho pouca experiencia com esse tipo de problema. mas ainda assim acho bom eu postar minha resolução já que pode ajudar outros usuários a desenvolverem algumas ideias ou verificar se minha resolução está correta

[GSazevedo]

supondo que vc queria ter dito que [tex3](m-n)^2=\frac{4mn}{m+n - 1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](m-n)^2=\frac{4mn}{m+n - 1}[/tex3]

[tex3]a = m + n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a = m + n[/tex3]

[tex3](m-n)^2=\frac{4mn}{m+n - 1} \implies (m+n)^2 - 4mn =\frac{4mn}{m+n - 1} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](m-n)^2=\frac{4mn}{m+n - 1} \implies (m+n)^2 - 4mn =\frac{4mn}{m+n - 1} [/tex3]

ali eu desenvolvi (m-n)^2 e reescrevi como (m+n)^2 - 4mn
[tex3]a^2 - 4mn =\frac{4mn}{a - 1} \implies(a-1)(a²-4mn)=4mn[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2 - 4mn =\frac{4mn}{a - 1} \implies(a-1)(a²-4mn)=4mn[/tex3]

[tex3](a-1)a²-4mn(a-1)=4mn\implies(a-1)a^2=4mn(a-1)+4mn[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a-1)a²-4mn(a-1)=4mn\implies(a-1)a^2=4mn(a-1)+4mn[/tex3]

colocando 4mn em evidencia
suponha [tex3]m\neq -n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m\neq -n[/tex3]

[tex3](a-1)a^2=4mn(a-1+1) \implies(a-1)a = 4mn\implies a=\frac{4mn}{a-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a-1)a^2=4mn(a-1+1) \implies(a-1)a = 4mn\implies a=\frac{4mn}{a-1}[/tex3]

com isso
[tex3]m + n = \frac{4mn}{m+n-1} = (m-n)^2 \implies m+ n = (m-n)^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m + n = \frac{4mn}{m+n-1} = (m-n)^2 \implies m+ n = (m-n)^2[/tex3]

se m fosse igual a -n teriamos
[tex3](-2n)^2=\frac{4(-n)n}{-n+n - 1}\implies4n^2=\frac{-4n^2}{-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](-2n)^2=\frac{4(-n)n}{-n+n - 1}\implies4n^2=\frac{-4n^2}{-1}[/tex3]

oque é verdade para todo n

agora a segunda parte não consegui

se tiver algum erro na solução peço desculpas, já que tenho pouca experiencia com esse tipo de problema. mas ainda assim acho bom eu postar minha resolução já que pode ajudar outros usuários a desenvolverem algumas ideias ou verificar se minha resolução está correta

Muito obrigada! Desculpa escrever a equação meio errada, ainda tô aprendendo a usar as ferramentas kkkk