Inteiros m e n, satisfazem a igualdade
[tex3](m-n)^2[/tex3]
= [tex3]4mn/m+n - 1[/tex3]
a) Prove que m+n é um quadrado perfeito.
b) Encontre todos os pares (m,n) satisfazendo a equação acima.
Olimpíadas ⇒ Bielorrúsia 1996 Tópico resolvido
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Bielorrúsia 1996
"Se eu vi mais longe, foi por estar sobre ombros de gigantes"
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16:14
Re: Bielorrúsia 1996
supondo que vc queria ter dito que [tex3](m-n)^2=\frac{4mn}{m+n - 1}[/tex3]
[tex3]a = m + n[/tex3]
[tex3](m-n)^2=\frac{4mn}{m+n - 1} \implies (m+n)^2 - 4mn =\frac{4mn}{m+n - 1} [/tex3]
ali eu desenvolvi (m-n)² e reescrevi como (m+n)² - 4mn
[tex3]a^2 - 4mn =\frac{4mn}{a - 1} \implies(a-1)(a²-4mn)=4mn[/tex3]
[tex3](a-1)a²-4mn(a-1)=4mn\implies(a-1)a^2=4mn(a-1)+4mn[/tex3]
colocando 4mn em evidencia
suponha [tex3]m\neq -n[/tex3]
[tex3](a-1)a^2=4mn(a-1+1) \implies(a-1)a = 4mn\implies a=\frac{4mn}{a-1}[/tex3]
com isso
[tex3]m + n = \frac{4mn}{m+n-1} = (m-n)^2 \implies m+ n = (m-n)^2[/tex3]
se m fosse igual a -n teriamos
[tex3](-2n)^2=\frac{4(-n)n}{-n+n - 1}\implies4n^2=\frac{-4n^2}{-1}[/tex3]
oque é verdade para todo n
agora a segunda parte não consegui
se tiver algum erro na solução peço desculpas, já que tenho pouca experiencia com esse tipo de problema. mas ainda assim acho bom eu postar minha resolução já que pode ajudar outros usuários a desenvolverem algumas ideias ou verificar se minha resolução está correta
[tex3]a = m + n[/tex3]
[tex3](m-n)^2=\frac{4mn}{m+n - 1} \implies (m+n)^2 - 4mn =\frac{4mn}{m+n - 1} [/tex3]
ali eu desenvolvi (m-n)² e reescrevi como (m+n)² - 4mn
[tex3]a^2 - 4mn =\frac{4mn}{a - 1} \implies(a-1)(a²-4mn)=4mn[/tex3]
[tex3](a-1)a²-4mn(a-1)=4mn\implies(a-1)a^2=4mn(a-1)+4mn[/tex3]
colocando 4mn em evidencia
suponha [tex3]m\neq -n[/tex3]
[tex3](a-1)a^2=4mn(a-1+1) \implies(a-1)a = 4mn\implies a=\frac{4mn}{a-1}[/tex3]
com isso
[tex3]m + n = \frac{4mn}{m+n-1} = (m-n)^2 \implies m+ n = (m-n)^2[/tex3]
se m fosse igual a -n teriamos
[tex3](-2n)^2=\frac{4(-n)n}{-n+n - 1}\implies4n^2=\frac{-4n^2}{-1}[/tex3]
oque é verdade para todo n
agora a segunda parte não consegui
se tiver algum erro na solução peço desculpas, já que tenho pouca experiencia com esse tipo de problema. mas ainda assim acho bom eu postar minha resolução já que pode ajudar outros usuários a desenvolverem algumas ideias ou verificar se minha resolução está correta
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09:53
Re: Bielorrúsia 1996
Muito obrigada! Desculpa escrever a equação meio errada, ainda tô aprendendo a usar as ferramentas kkkknull escreveu: ↑Qui 16 Jul, 2020 16:14supondo que vc queria ter dito que [tex3](m-n)^2=\frac{4mn}{m+n - 1}[/tex3]
[tex3]a = m + n[/tex3]
[tex3](m-n)^2=\frac{4mn}{m+n - 1} \implies (m+n)^2 - 4mn =\frac{4mn}{m+n - 1} [/tex3]
ali eu desenvolvi (m-n)^2 e reescrevi como (m+n)^2 - 4mn
[tex3]a^2 - 4mn =\frac{4mn}{a - 1} \implies(a-1)(a²-4mn)=4mn[/tex3]
[tex3](a-1)a²-4mn(a-1)=4mn\implies(a-1)a^2=4mn(a-1)+4mn[/tex3]
colocando 4mn em evidencia
suponha [tex3]m\neq -n[/tex3]
[tex3](a-1)a^2=4mn(a-1+1) \implies(a-1)a = 4mn\implies a=\frac{4mn}{a-1}[/tex3]
com isso
[tex3]m + n = \frac{4mn}{m+n-1} = (m-n)^2 \implies m+ n = (m-n)^2[/tex3]
se m fosse igual a -n teriamos
[tex3](-2n)^2=\frac{4(-n)n}{-n+n - 1}\implies4n^2=\frac{-4n^2}{-1}[/tex3]
oque é verdade para todo n
agora a segunda parte não consegui
se tiver algum erro na solução peço desculpas, já que tenho pouca experiencia com esse tipo de problema. mas ainda assim acho bom eu postar minha resolução já que pode ajudar outros usuários a desenvolverem algumas ideias ou verificar se minha resolução está correta
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