Olimpíadas(IMO 1979) Frações Irredutíveis Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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(IMO 1979) Frações Irredutíveis

Mensagem não lida por Deleted User 24633 »

Sejam [tex3]p, q[/tex3] números naturais primos entre si tais que:
[tex3]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\dfrac{p}{q}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-...-\dfrac{1}{1318}+\dfrac{1}{1319}[/tex3] .
Prove que [tex3]p[/tex3] é divisível por [tex3]1979[/tex3] .

Última edição: Deleted User 24633 (Seg 15 Jun, 2020 16:18). Total de 1 vez.



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Re: (IMO 1979) Frações Irredutíveis

Mensagem não lida por Tassandro »

pedro1729,
Podemos escrever assim
[tex3]\frac pq=1+\frac12+\frac13+...+\frac1{1319}-2\bigg(\frac12+\frac14+...+\frac1{1318}\bigg)=\frac{1}{660}+\frac1{661}+...+\frac{1}{1319}[/tex3]
Agora, veja que [tex3]\frac1{660}+\frac{1}{1319}=\frac{1979}{660\cdot1319},\frac{1}{661}+\frac{1}{1318}=\frac{1979}{661\cdot1318}...[/tex3]
Logo, é fácil ver que [tex3]1979\mid p.[/tex3]

Última edição: Tassandro (Seg 15 Jun, 2020 16:29). Total de 1 vez.


Dias de luta, dias de glória.

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Re: (IMO 1979) Frações Irredutíveis

Mensagem não lida por Deleted User 24633 »

Tassandro escreveu:
Seg 15 Jun, 2020 16:29
pedro1729,
[...] Logo, é fácil ver que [tex3]1979\mid p.[/tex3]
Só faltou você provar que [tex3]mdc(1979, \displaystyle\sum_ {i=660}^{989} n(1979-n))=1[/tex3] .



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Tassandro
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Re: (IMO 1979) Frações Irredutíveis

Mensagem não lida por Tassandro »

pedro1729,
Dever de casa :mrgreen:
Dica: 1979 é primo

Última edição: Tassandro (Seg 15 Jun, 2020 18:30). Total de 1 vez.


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