Olimpíadas ⇒ Bélgica (1992) - Probabilidade Tópico resolvido

[goncalves3718]

Seja [tex3]A= \{1,2,3,4\}[/tex3]

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[tex3]A= \{1,2,3,4\}[/tex3]

. Quando é escolhida aleatoriamente uma das possíveis funções [tex3]f: A \rightarrow A[/tex3]

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[tex3]f: A \rightarrow A[/tex3]

, qual a probabilidade de que [tex3]f[/tex3]

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[tex3]f[/tex3]

seja bijetora?

[MateusQqMD]

Olá, goncalves3718.

Vamos, em primeiro lugar, contar o número de funções [tex3]f: A \to A.[/tex3]

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[tex3]f: A \to A.[/tex3]

Para isso, basta notar que a imagem de cada elemento de [tex3]A[/tex3]

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[tex3]A[/tex3]

pode ser escolhida de [tex3]4[/tex3]

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[tex3]4[/tex3]

modos, de sorte que o número procurado é [tex3]4^4.[/tex3]

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[tex3]4^4.[/tex3]

Agora, note que toda função injetora será também bijetora, e daí estas são em número de [tex3]4[/tex3]

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[tex3]4[/tex3]

(escolha da imagem de 1) vezes [tex3]3[/tex3]

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[tex3]3[/tex3]

(escolha da imagem de 2) vezes [tex3]2[/tex3]

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[tex3]2[/tex3]

(escolha da imagem de 3) vezes [tex3]1[/tex3]

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[tex3]1[/tex3]

(escolha da imagem de 4) [tex3]= 4!.[/tex3]

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[tex3]= 4!.[/tex3]

Acho que a resposta é [tex3]\frac{4!}{4^4}.[/tex3]

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[tex3]\frac{4!}{4^4}.[/tex3]

[goncalves3718]

Correto! Obrigado...