Olimpíadas ⇒ (OBMEP 2017) Teoria dos Números Tópico resolvido

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Júlia faz o seguinte cálculo com números inteiros positivos: ela escolhe um número, eleva esse número ao cubo e subtrai desse cubo o próprio número. Veja na figura que o resultado do cálculo de Júlia com o número 2 é igual a 6.

c) Explique por que, para qualquer número que Júlia escolher, o resultado final do cálculo será sempre um múltiplo de 6.

usando (a-1)a(a+1) para numeros inteiros positivos
vamos ver alguns casos antes
1*2*3 = 6
2*3*4 = 6*4 = 24
3*4*5 = 6*10 = 60
4*5*6 = 6 * 20 = 120
5*6*7 = 6 * 35
com isso vemos que temos sempre ou dois numeros pares e um impar ou dois impares e um numero par
para um numero ser divisivel por 6 ele precisa ser divisivel por 2 e por 3 ao mesmo tempo
por 2 ele ja é divisivel pois temos sempre um termo par na nossa multiplicação agora por, vamos ver
os numeros divisiveis por 3 maiores que 0 são
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ...
com isso temos uma PA de razao 3 e como pegamos sempre 3 numeros sucessivos então pelo menos um desses é multiplo de 3

estava escrevendo essa solução mais achei ela não muito satisfatoria, vocês tem alguma solução mais formal sei la
sei que existe aritmetica modular mas não tentei usar pois não sei , tentei dividir em dois casos
supondo que o primeiro numero seja impar e escrever (2k+1)(2k + 2)(2k + 3) mas não consegui simplificar de uma maneira que ficasse visivel que o numero é divisivel por 6

[Ittalo25]

Se ela escolher um número par, então é da forma 2k.
Vai elevar ao cubo e subtrair:
(2k)³-2k = 8k³-2k = 2k(2k-1)(2k+1)
Numa sequência de 3 inteiros positivos, sempre existe pelo menos um múltiplo de 3, então o número formado é múltiplo de 6.

Se ela escolher um número ímpar, então é da forma 2k+1.
(2k+1)³-(2k+1) = 4(2k+1)k(k+1)

se o k for múltiplo de 3, então o número formado é múltiplo de 6.
se o k deixa resto 2 na divisão por 3, então k+1 é múltiplo de 3 e o número formado é múltiplo de 6.
se o k deixa resto 1 na divisão por 3, então 2k+1 é múltiplo de 3 e o número formado é múltiplo de 6.