Olimpíadas

Seja [tex3]\Delta ABC[/tex3] um triângulo, seja [tex3]H[/tex3] seu ortocentro. Sejam [tex3]D, E, F[/tex3] os pontos médios dos lados [tex3]CB, AC , AB,[/tex3] respectivamente. Defina [tex3]H_1’[/tex3] , como sendo o ponto na reta [tex3]HD[/tex3] , tal que [tex3]HD=H_1’D[/tex3] , e [tex3]H_1’ \neq H[/tex3] . Analogamente, defina [tex3]H_2’[/tex3] e [tex3]H_3’[/tex3] .
a)Prove que, sendo [tex3]\Gamma[/tex3] o circuncirculo do [tex3]\Delta ABC[/tex3] , então [tex3]H_i’ \in \Gamma[/tex3] , para [tex3]i=1,2,3[/tex3] .
b)Prove que [tex3]AH_1’, BH_2’ , CH_3’[/tex3] são diâmetros.
c)Prove que [tex3]ABC \equiv H_1'H_2’H_3'[/tex3]
d)Prove que [tex3]ABH_1'H_2', ACH_1'H_3',BCH_2'H_3'[/tex3] são trapézios isóceles.

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Observa-se que o [tex3]\angle BHC=180^{\circ} -\angle BAC[/tex3] , uma vez que o quadrilátero formado pelos pontos [tex3]A[/tex3] , [tex3]H[/tex3] e os pés das alturas relativas a [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] é inscritível.

Tome [tex3]H'[/tex3] ' como o simétrico de [tex3]H[/tex3] em relação a [tex3]BC[/tex3] , logo [tex3]\Delta BCH\equiv\Delta BCH'(LLL)[/tex3] ([tex3]CH\equiv CH',BH\equiv BH'[/tex3] ).

[tex3]\Rightarrow \angle BH'C=\angle BHC[/tex3]
[tex3]\Rightarrow \angle BH'C+\angle BAC=180^{\circ}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow ABH'C[/tex3] é cíclico
[tex3]\Rightarrow H'\in \Gamma [/tex3]

Seja [tex3]G[/tex3] o pé da altura de [tex3]A[/tex3] em relação a [tex3]BC[/tex3] , temos [tex3]\Delta HGD\approx \Delta HH'H1'(LAL)[/tex3] .
[tex3]\Rightarrow \angle HH'H1'[/tex3] é reto.

[tex3]\Delta HCD\equiv \Delta H1'BD(LAL)[/tex3]
[tex3]\Rightarrow \angle H1'BD=\angle HCD[/tex3]
mas [tex3]\angle HCD+ \angle DBA=90^{\circ}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow \angle H1'BD+\angle DBA=\angle ABH1'=90^{\circ}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow \angle AH'H1'+\angle ABH1'=180^{\circ}[/tex3] , logo [tex3]AH'H1'B[/tex3] é cíclico, assim, [tex3]H1'\in \Gamma[/tex3] .

Além disso, [tex3]AH1'[/tex3] é diâmetro, uma vez que seu arco mede [tex3]180^{\circ}[/tex3] .

Analogamente, [tex3]H2'[/tex3] e [tex3]H3'[/tex3] [tex3]\in \Gamma[/tex3] , e, [tex3]BH2'[/tex3] e [tex3]CH3'[/tex3] são diâmetros.

Como tanto [tex3]BH2'[/tex3] , quanto [tex3]CH3'[/tex3] são diâmetros, os ângulos [tex3]\angle BCH2'[/tex3] e [tex3]\angle CBH3'[/tex3] são retos, o que é suficiente para concluir que [tex3]BCH2'H3'[/tex3] é um retângulo; [tex3]\Rightarrow BC \equiv H2'H3'[/tex3] , analogamente [tex3]AC \equiv H1'H3'[/tex3] e [tex3]AB \equiv H1'H2'[/tex3] .

[tex3]\Rightarrow \Delta ABC \equiv \Delta H1'H2'H3'[/tex3] .

[tex3]ABH1'H2'[/tex3] e [tex3]ACH1'H3'[/tex3] também são retângulos por analogia.

Um retângulo não deixa de ser um trapézio isósceles

.

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