Olimpíadas ⇒ Espanha Tópico resolvido

[Tassandro]

Mostre que para todos [tex3]x,y,z\in\mathbb R[/tex3]

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[tex3]x,y,z\in\mathbb R[/tex3]

, tem-se [tex3]\sen(x^3)+\sen(y^3)+\sen(z^3)-\sen(xyz)<4[/tex3]

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[tex3]\sen(x^3)+\sen(y^3)+\sen(z^3)-\sen(xyz)<4[/tex3]

.

[undefinied3]

O único caso que temos que nos preocupar seria a igualdade, pois menor que 4 é trivial que a parcela sempre será, afinal [tex3]sen(x) \leq 1[/tex3]

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[tex3]sen(x) \leq 1[/tex3]

e temos uma soma de quatro senos.

Para ocorrer a igualdade, devemos ter
[tex3]x^3=\frac{\pi}{2}+2a\pi[/tex3]

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[tex3]x^3=\frac{\pi}{2}+2a\pi[/tex3]

[tex3]y^3=\frac{\pi}{2}+2b\pi[/tex3]

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[tex3]y^3=\frac{\pi}{2}+2b\pi[/tex3]

[tex3]z^3=\frac{\pi}{2}+2c\pi[/tex3]

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[tex3]z^3=\frac{\pi}{2}+2c\pi[/tex3]

[tex3]xyz=-\frac{\pi}{2}+2d\pi \rightarrow d=\frac{xyz+\frac{\pi}{2}}{2\pi}=\frac{xyz}{2\pi}+\frac{1}{4}[/tex3]

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[tex3]xyz=-\frac{\pi}{2}+2d\pi \rightarrow d=\frac{xyz+\frac{\pi}{2}}{2\pi}=\frac{xyz}{2\pi}+\frac{1}{4}[/tex3]

[tex3]\frac{x^3y^3z^3}{8\pi^3}=(\frac{1}{4}+a)(\frac{1}{4}+b)(\frac{1}{4}+c) \rightarrow \frac{xyz}{2\pi}=\frac{\sqrt[3]{1+4a}\sqrt[3]{1+4b}\sqrt[3]{1+4c}}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{x^3y^3z^3}{8\pi^3}=(\frac{1}{4}+a)(\frac{1}{4}+b)(\frac{1}{4}+c) \rightarrow \frac{xyz}{2\pi}=\frac{\sqrt[3]{1+4a}\sqrt[3]{1+4b}\sqrt[3]{1+4c}}{4}[/tex3]

[tex3]d=\frac{1+\sqrt[3]{(1+4a)(1+4b)(1+4c)}}{4}[/tex3]

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[tex3]d=\frac{1+\sqrt[3]{(1+4a)(1+4b)(1+4c)}}{4}[/tex3]

Devemos ter [tex3]u \equiv 3 \ (mod \ 4) \rightarrow u^3 \equiv 27 \equiv 3 \ (mod 4) \rightarrow (1+4a)(1+4b)(1+4c) \equiv 3 \ (mod \ 4) \rightarrow 1 \equiv 3 \ (mod \ 4)[/tex3]

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[tex3]u \equiv 3 \ (mod \ 4) \rightarrow u^3 \equiv 27 \equiv 3 \ (mod 4) \rightarrow (1+4a)(1+4b)(1+4c) \equiv 3 \ (mod \ 4) \rightarrow 1 \equiv 3 \ (mod \ 4)[/tex3]

Impossível.