Olimpíadas ⇒ Álgebra Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mai 2020
24
12:40
Álgebra
Para [tex3]x,y,z[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
x^2+xy+y^2=1\\
x^2+xz+z^2=4\\
z^2+yz+y^2=5
\end{cases}[/tex3]
Sabendo que [tex3]S=xy+xz+yz[/tex3] , determine o valor de [tex3]2016\cdot S^2[/tex3] .
Obs.: Não tenho gabarito.
reais positivos satisfazendo o sistema:[tex3]\begin{cases}
x^2+xy+y^2=1\\
x^2+xz+z^2=4\\
z^2+yz+y^2=5
\end{cases}[/tex3]
Sabendo que [tex3]S=xy+xz+yz[/tex3] , determine o valor de [tex3]2016\cdot S^2[/tex3] .
Obs.: Não tenho gabarito.
Última edição: Babi123 (Dom 24 Mai, 2020 21:51). Total de 1 vez.
Razão: editar a 2* linha do sistema.
Razão: editar a 2* linha do sistema.
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Mai 2020
24
13:08
Re: Álgebra
Babi123,
Na segunda linha é um xz mesmo?
Na segunda linha é um xz mesmo?
Dias de luta, dias de glória.
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Mai 2020
24
16:17
Re: Álgebra
Babi123,
Vou corrigir umas coisas!
Não estava certo...
Vou corrigir umas coisas!
Não estava certo...
Última edição: Tassandro (Dom 24 Mai, 2020 16:22). Total de 1 vez.
Dias de luta, dias de glória.
Mai 2020
24
16:28
Re: Álgebra
Tudo bem Tassandro. Havia anotado este problema no papel e está do jeito q copiei.
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Mai 2020
24
16:49
Re: Álgebra
Babi123, l
Agora vai!!!!!!!!!!!!!!!!
Questão linda!!!!!!!!!!
Tive uma ideia viajada aqui, mas foi!!!!
Suponha que existe um triângulo ABC tal que [tex3]AC=1,BC=2,AB=\sqrt5[/tex3]
Seja P um ponto interno ao triângulo ABC tal que [tex3]AP=y,CP=x,BP=z.[/tex3]
Além disso, sejam [tex3]\angle APC=\angle BPC=\angle APB=120°[/tex3]
Aplicando a Lei dos Cossenos nos triângulos APC, BPC e APB chegamos no sistema da questão (nessas horas você olha para cima e questiona o sentido da vida).
Voltando à questão, por áreas,
[tex3][ABC]=[APC]+[BPC]+[APB]=\frac{1}{2}\sen120°(xy+yz+xz)[/tex3]
Mas [tex3]AC^2+BC^2=AB^2,[/tex3] logo, ABC é retângulo em C e [tex3][ABC]=\frac{1\cdot 2}{2}=1[/tex3]
Assim,
[tex3]xy+yz+xz=\frac{4}{\sqrt3}=S[/tex3]
Finalmente,
[tex3]2016\cdot S^2=\frac{16}{3}\cdot2016=10752[/tex3]
É muita loucura...
Mas eu supus que no lugar daquele y^2 na segunda equação era para ser um x^2.
Agora vai!!!!!!!!!!!!!!!!
Questão linda!!!!!!!!!!
Tive uma ideia viajada aqui, mas foi!!!!
Suponha que existe um triângulo ABC tal que [tex3]AC=1,BC=2,AB=\sqrt5[/tex3]
Seja P um ponto interno ao triângulo ABC tal que [tex3]AP=y,CP=x,BP=z.[/tex3]
Além disso, sejam [tex3]\angle APC=\angle BPC=\angle APB=120°[/tex3]
Aplicando a Lei dos Cossenos nos triângulos APC, BPC e APB chegamos no sistema da questão (nessas horas você olha para cima e questiona o sentido da vida).
Voltando à questão, por áreas,
[tex3][ABC]=[APC]+[BPC]+[APB]=\frac{1}{2}\sen120°(xy+yz+xz)[/tex3]
Mas [tex3]AC^2+BC^2=AB^2,[/tex3] logo, ABC é retângulo em C e [tex3][ABC]=\frac{1\cdot 2}{2}=1[/tex3]
Assim,
[tex3]xy+yz+xz=\frac{4}{\sqrt3}=S[/tex3]
Finalmente,
[tex3]2016\cdot S^2=\frac{16}{3}\cdot2016=10752[/tex3]
É muita loucura...
Mas eu supus que no lugar daquele y^2 na segunda equação era para ser um x^2.
Última edição: Tassandro (Dom 24 Mai, 2020 17:41). Total de 6 vezes.
Dias de luta, dias de glória.
Mai 2020
24
17:11
Re: Álgebra
Excelente resolução Tassandro!!
"Dizem que não existe almoço grátis. Mas o universo é o derradeiro almoço grátis"
Alan Guth
Alan Guth
Mai 2020
24
17:21
Re: Álgebra
Se na segunda equação for yz, então ficaria z²+zy+y² = 5 = 4
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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Mai 2020
24
17:32
Re: Álgebra
Ittalo25,
Perdão, acho que troquei o x com y em algum lugar, mas espero que não tenha afetado o resultado!!!
Obrigado pela correção, mestre!!!
Perdão, acho que troquei o x com y em algum lugar, mas espero que não tenha afetado o resultado!!!
Obrigado pela correção, mestre!!!
Dias de luta, dias de glória.
Mai 2020
24
19:48
Re: Álgebra
encontrei o o problema na íntegra e a segunda linha do sistema é: [tex3]x^2+xz+z^2=4[/tex3]
Tassandro
. É isso mesmo
Última edição: Babi123 (Seg 25 Mai, 2020 08:05). Total de 2 vezes.
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Mai 2020
24
21:00
Re: Álgebra
p(x) = x³ - ax² + cx + d
x + y + z = a
xy + xz + yz = c
x² + y² + z² + 2(xy + xz + yz) = a²
x² + y ² + z² = a² - 2c
x² + y² + z² + 2y² + 2z² + xy + xz + yz = 10
Somando as equações do sistema temos:
a² - 2c + 2(y² + z²) + c = 10
a² - c + 2(y² + z²) = 10
a² - c + 2(a² -2c - x²) = 10
3a² - 5c - 2x² = 10
3a² - 5c = 10 + 2x²
yz - xz = 1
z(y-x) = 1
Esse é um esboço dos meus pensamentos pra questão.
x + y + z = a
xy + xz + yz = c
x² + y² + z² + 2(xy + xz + yz) = a²
x² + y ² + z² = a² - 2c
x² + y² + z² + 2y² + 2z² + xy + xz + yz = 10
Somando as equações do sistema temos:
a² - 2c + 2(y² + z²) + c = 10
a² - c + 2(y² + z²) = 10
a² - c + 2(a² -2c - x²) = 10
3a² - 5c - 2x² = 10
3a² - 5c = 10 + 2x²
yz - xz = 1
z(y-x) = 1
Esse é um esboço dos meus pensamentos pra questão.
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