Olimpíadas ⇒ Álgebra Tópico resolvido

[Babi123]

Para [tex3]x,y,z[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x,y,z[/tex3]

reais positivos satisfazendo o sistema:
[tex3]\begin{cases}
x^2+xy+y^2=1\\
x^2+xz+z^2=4\\
z^2+yz+y^2=5
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
x^2+xy+y^2=1\\
x^2+xz+z^2=4\\
z^2+yz+y^2=5
\end{cases}[/tex3]

Sabendo que [tex3]S=xy+xz+yz[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S=xy+xz+yz[/tex3]

, determine o valor de [tex3]2016\cdot S^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2016\cdot S^2[/tex3]

.


Obs.: Não tenho gabarito.

[Tassandro]

Babi123,
Na segunda linha é um xz mesmo?

[Tassandro]

Babi123,
Vou corrigir umas coisas!
Não estava certo...

[Babi123]

Tudo bem Tassandro. Havia anotado este problema no papel e está do jeito q copiei.

[Tassandro]

Babi123, l
Agora vai!!!!!!!!!!!!!!!!
Questão linda!!!!!!!!!!
Tive uma ideia viajada aqui, mas foi!!!!
Suponha que existe um triângulo ABC tal que [tex3]AC=1,BC=2,AB=\sqrt5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AC=1,BC=2,AB=\sqrt5[/tex3]

Seja P um ponto interno ao triângulo ABC tal que [tex3]AP=y,CP=x,BP=z.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AP=y,CP=x,BP=z.[/tex3]

Além disso, sejam [tex3]\angle APC=\angle BPC=\angle APB=120°[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle APC=\angle BPC=\angle APB=120°[/tex3]

Aplicando a Lei dos Cossenos nos triângulos APC, BPC e APB chegamos no sistema da questão (nessas horas você olha para cima e questiona o sentido da vida).
Voltando à questão, por áreas,
[tex3][ABC]=[APC]+[BPC]+[APB]=\frac{1}{2}\sen120°(xy+yz+xz)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][ABC]=[APC]+[BPC]+[APB]=\frac{1}{2}\sen120°(xy+yz+xz)[/tex3]

Mas [tex3]AC^2+BC^2=AB^2,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AC^2+BC^2=AB^2,[/tex3]

logo, ABC é retângulo em C e [tex3][ABC]=\frac{1\cdot 2}{2}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][ABC]=\frac{1\cdot 2}{2}=1[/tex3]

Assim,
[tex3]xy+yz+xz=\frac{4}{\sqrt3}=S[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]xy+yz+xz=\frac{4}{\sqrt3}=S[/tex3]

Finalmente,
[tex3]2016\cdot S^2=\frac{16}{3}\cdot2016=10752[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2016\cdot S^2=\frac{16}{3}\cdot2016=10752[/tex3]

É muita loucura...
Mas eu supus que no lugar daquele y^2 na segunda equação era para ser um x^2.

[mcarvalho]

Excelente resolução Tassandro!!

[Ittalo25]

Babi123, l
Mas eu supus que no lugar daquele xz na 2 equação é um yz.

Se na segunda equação for yz, então ficaria z²+zy+y² = 5 = 4

[Tassandro]

Ittalo25,
Perdão, acho que troquei o x com y em algum lugar, mas espero que não tenha afetado o resultado!!!
Obrigado pela correção, mestre!!!

[Babi123]

encontrei o o problema na íntegra e a segunda linha do sistema é: [tex3]x^2+xz+z^2=4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2+xz+z^2=4[/tex3]

. É isso mesmo Tassandro

[snooplammer]

p(x) = x³ - ax² + cx + d

x + y + z = a
xy + xz + yz = c
x² + y² + z² + 2(xy + xz + yz) = a²
x² + y ² + z² = a² - 2c

x² + y² + z² + 2y² + 2z² + xy + xz + yz = 10

Somando as equações do sistema temos:
a² - 2c + 2(y² + z²) + c = 10
a² - c + 2(y² + z²) = 10
a² - c + 2(a² -2c - x²) = 10
3a² - 5c - 2x² = 10
3a² - 5c = 10 + 2x²

yz - xz = 1
z(y-x) = 1

Esse é um esboço dos meus pensamentos pra questão.