Olimpíadas ⇒ Geometria Plana - Problema 35 (The Indian Terror)
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mai 2020
24
09:20
Geometria Plana - Problema 35 (The Indian Terror)
Esse Problema já causou alguns stresses e queria compartilhar com vocês! Vale ressaltar que este está presente na versão antiga da editora Racso
Em um triângulo ABC, retângulo em B, trace a ceviana BD, com D em AC, de modo esta intercepte o ponto máximo M da circunferência inscrita e o segmento MD seja diâmetro de uma nova circunferência. Sabendo-se que NC=k e que N é ponto de tangencia da circunferência cujo diâmetro é MD [tex3]proveS_{ABC}=k²[/tex3]
Em um triângulo ABC, retângulo em B, trace a ceviana BD, com D em AC, de modo esta intercepte o ponto máximo M da circunferência inscrita e o segmento MD seja diâmetro de uma nova circunferência. Sabendo-se que NC=k e que N é ponto de tangencia da circunferência cujo diâmetro é MD [tex3]proveS_{ABC}=k²[/tex3]
Última edição: jvmago (Dom 24 Mai, 2020 09:25). Total de 3 vezes.
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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Mai 2020
24
10:17
Re: Geometria Plana - Problema 35 (The Indian Terror)
jvmago,
Tem alguma figura disso aí? Não entendi esse "ponto máximo"...
Tem alguma figura disso aí? Não entendi esse "ponto máximo"...
Dias de luta, dias de glória.
Mai 2020
24
10:21
Re: Geometria Plana - Problema 35 (The Indian Terror)
Essa é uma das conclusões que devem ser feitas! Se a ceviana BD parte de B e toca o ponto máximo da Circunferência inscrita, como determinar esse ponto? Essa será a primeira demonstração para iniciar o problema
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
Mai 2020
24
17:47
Re: Geometria Plana - Problema 35 (The Indian Terror)
A questão está dizendo que BM tem valor máximo, é simplesmente isso?
Porque ta meio confuso
Porque ta meio confuso
Última edição: Ittalo25 (Dom 24 Mai, 2020 17:48). Total de 1 vez.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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Mai 2020
24
17:49
Re: Geometria Plana - Problema 35 (The Indian Terror)
Ittalo25,
Eu acho que M é o ponto mais alto.
Tô chegando perto, daqui a pouco talvez eu poste a solução!
Eu acho que M é o ponto mais alto.
Tô chegando perto, daqui a pouco talvez eu poste a solução!
Dias de luta, dias de glória.
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Mai 2020
24
18:13
Re: Geometria Plana - Problema 35 (The Indian Terror)
jvmago, Ittalo25,
Só falta eu provar uma coisinha... se algum de vocês puderem, seria legal!!!
Bem, por Potência de Ponto
[tex3]CN^2=k^2=CP\cdot CT[/tex3]
Por propriedades do incírculo, sabemos que sendo a,b e c os lados do triângulo dessa questão, [tex3]CT=p-c[/tex3]
Agora vem o que eu não consegui provar, mas tem que ser verdade [tex3]CD=p-a[/tex3]
Assumindo isso, agora acabou, pois sabemos também que o raio do incírculo é [tex3]r=\frac{a+c-b}{2}[/tex3] .
Assim,
[tex3]k^2=CD\cdot CT=(p-a)(p-c)=p^2-p(a+c)+ac[/tex3]
Além disso, sabemos que [tex3]2[ABC]=ac[/tex3]
Logo,
[tex3]k^2=p(p-(a+c))+2[ABC]=-\frac{p(a+c-b)}{2}+2[ABC]=-pr+2[ABC]=[ABC][/tex3]
Semi-pimbada...
Só falta eu provar uma coisinha... se algum de vocês puderem, seria legal!!!
Bem, por Potência de Ponto
[tex3]CN^2=k^2=CP\cdot CT[/tex3]
Por propriedades do incírculo, sabemos que sendo a,b e c os lados do triângulo dessa questão, [tex3]CT=p-c[/tex3]
Agora vem o que eu não consegui provar, mas tem que ser verdade [tex3]CD=p-a[/tex3]
Assumindo isso, agora acabou, pois sabemos também que o raio do incírculo é [tex3]r=\frac{a+c-b}{2}[/tex3] .
Assim,
[tex3]k^2=CD\cdot CT=(p-a)(p-c)=p^2-p(a+c)+ac[/tex3]
Além disso, sabemos que [tex3]2[ABC]=ac[/tex3]
Logo,
[tex3]k^2=p(p-(a+c))+2[ABC]=-\frac{p(a+c-b)}{2}+2[ABC]=-pr+2[ABC]=[ABC][/tex3]
Semi-pimbada...
Última edição: Tassandro (Dom 24 Mai, 2020 18:15). Total de 2 vezes.
Dias de luta, dias de glória.
Mai 2020
24
22:25
Re: Geometria Plana - Problema 35 (The Indian Terror)
O esboço foi em cheio agora é só brilhar
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
Mai 2020
27
18:08
Re: Geometria Plana - Problema 35 (The Indian Terror)
Bom senhores o tempo foi dado e é hora da resolução!
Sendo AB=c, BC=a e AC=b gogo
Traçando BH temos:
BH=ac/b
Por semelhança
BH/MT = HD/TD aqui está o terror
Sabemos que MT=2r=2(p-b)
K²=CD*(p-c)
CD=k²/(p-c) logo
TD=(p-c)-k²/(p-c)
Sabemos que c²=AH*b
AH=c²/b então HT=(p-a)-c²/b
De modo que HD=(p-a)-c²/b+(p-c)-k²/(p-c) isso resulta
HD=b-c²/b -k²/(p-c)
Substitui isso na equação de semelhança, vai aparecer um b⁴ daí basta lembrar que a²+c²=b² e no final ficará verificado 2k²=ab
FAÇAM COM CALMA E ELA SAIRÁ!
Sendo AB=c, BC=a e AC=b gogo
Traçando BH temos:
BH=ac/b
Por semelhança
BH/MT = HD/TD aqui está o terror
Sabemos que MT=2r=2(p-b)
K²=CD*(p-c)
CD=k²/(p-c) logo
TD=(p-c)-k²/(p-c)
Sabemos que c²=AH*b
AH=c²/b então HT=(p-a)-c²/b
De modo que HD=(p-a)-c²/b+(p-c)-k²/(p-c) isso resulta
HD=b-c²/b -k²/(p-c)
Substitui isso na equação de semelhança, vai aparecer um b⁴ daí basta lembrar que a²+c²=b² e no final ficará verificado 2k²=ab
FAÇAM COM CALMA E ELA SAIRÁ!
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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Mai 2020
28
18:32
Re: Geometria Plana - Problema 35 (The Indian Terror)
deve ser uma duvida basica, mas oq esse S quer dizer?
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Mai 2020
28
21:25
Re: Geometria Plana - Problema 35 (The Indian Terror)
leonaosei,
Área.
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Dias de luta, dias de glória.
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