Olimpíadas ⇒ Geometria Plana - Problema 35 (The Indian Terror)

[jvmago]

Esse Problema já causou alguns stresses e queria compartilhar com vocês! Vale ressaltar que este está presente na versão antiga da editora Racso

Em um triângulo ABC, retângulo em B, trace a ceviana BD, com D em AC, de modo esta intercepte o ponto máximo M da circunferência inscrita e o segmento MD seja diâmetro de uma nova circunferência. Sabendo-se que NC=k e que N é ponto de tangencia da circunferência cujo diâmetro é MD [tex3]proveS_{ABC}=k²[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]proveS_{ABC}=k²[/tex3]

[Tassandro]

jvmago,
Tem alguma figura disso aí? Não entendi esse "ponto máximo"...

[jvmago]

Essa é uma das conclusões que devem ser feitas! Se a ceviana BD parte de B e toca o ponto máximo da Circunferência inscrita, como determinar esse ponto? Essa será a primeira demonstração para iniciar o problema

[Ittalo25]

A questão está dizendo que BM tem valor máximo, é simplesmente isso?
Porque ta meio confuso

[Tassandro]

Ittalo25,
Eu acho que M é o ponto mais alto.
Tô chegando perto, daqui a pouco talvez eu poste a solução!

3uoAG.png (23.93 KiB) Exibido 1669 vezes

[Tassandro]

jvmago, Ittalo25,
Só falta eu provar uma coisinha... se algum de vocês puderem, seria legal!!!
Bem, por Potência de Ponto
[tex3]CN^2=k^2=CP\cdot CT[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]CN^2=k^2=CP\cdot CT[/tex3]

Por propriedades do incírculo, sabemos que sendo a,b e c os lados do triângulo dessa questão, [tex3]CT=p-c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]CT=p-c[/tex3]

Agora vem o que eu não consegui provar, mas tem que ser verdade [tex3]CD=p-a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]CD=p-a[/tex3]

Assumindo isso, agora acabou, pois sabemos também que o raio do incírculo é [tex3]r=\frac{a+c-b}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r=\frac{a+c-b}{2}[/tex3]

.
Assim,
[tex3]k^2=CD\cdot CT=(p-a)(p-c)=p^2-p(a+c)+ac[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k^2=CD\cdot CT=(p-a)(p-c)=p^2-p(a+c)+ac[/tex3]

Além disso, sabemos que [tex3]2[ABC]=ac[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2[ABC]=ac[/tex3]

Logo,
[tex3]k^2=p(p-(a+c))+2[ABC]=-\frac{p(a+c-b)}{2}+2[ABC]=-pr+2[ABC]=[ABC][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k^2=p(p-(a+c))+2[ABC]=-\frac{p(a+c-b)}{2}+2[ABC]=-pr+2[ABC]=[ABC][/tex3]

Semi-pimbada...

[jvmago]

O esboço foi em cheio agora é só brilhar

[jvmago]

Bom senhores o tempo foi dado e é hora da resolução!

Sendo AB=c, BC=a e AC=b gogo

Traçando BH temos:

BH=ac/b

Por semelhança

BH/MT = HD/TD aqui está o terror

Sabemos que MT=2r=2(p-b)

K²=CD*(p-c)
CD=k²/(p-c) logo

TD=(p-c)-k²/(p-c)

Sabemos que c²=AH*b
AH=c²/b então HT=(p-a)-c²/b

De modo que HD=(p-a)-c²/b+(p-c)-k²/(p-c) isso resulta

HD=b-c²/b -k²/(p-c)

Substitui isso na equação de semelhança, vai aparecer um b⁴ daí basta lembrar que a²+c²=b² e no final ficará verificado 2k²=ab

FAÇAM COM CALMA E ELA SAIRÁ!

[Auto Excluído (ID:24530)]

deve ser uma duvida basica, mas oq esse S quer dizer?

[Tassandro]

leonaosei,
Área.