Olimpíadas ⇒ Geometria Plana - Problema 34 (fórmula de área)
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mai 2020
03
15:51
Geometria Plana - Problema 34 (fórmula de área)
1) Em um triângulo qualquer inscrito em um circunferência sabe-se que o valor de suas respectivas flechas valem [tex3]1,2,3[/tex3]
2) determine o valor dessa área quando as flechas valem [tex3]a,b,c[/tex3]
determine o valor da região ABC2) determine o valor dessa área quando as flechas valem [tex3]a,b,c[/tex3]
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
-
- Mensagens: 2223
- Registrado em: Sáb 04 Jul, 2020 10:47
- Última visita: 13-04-24
Nov 2021
10
14:33
Re: Geometria Plana - Problema 34 (fórmula de área)
[tex3]2f_a = r_a - r[/tex3]
[tex3]\frac 1 r = \frac 1 {r+2f_a}+\frac 1 {r+2f_b}+\frac 1 {r+2f_c}[/tex3]
substituindo [tex3]f_a \leftrightarrow a[/tex3] e as outras duas:
[tex3]r^2 ( a+b+c+r) = 4abc[/tex3] . A ideia é usar a relação [tex3]S^2 = rr_ar_br_c[/tex3] , mas não acho que dê pra contornar a primeira cúbica, cuja resposta é meio gigante....
Eu cheguei que:
[tex3]S^2 = r^2[ (a+b+c)^2 - 2(a^2+b^2+c^2)] + 4abc(3r+a+b+c)[/tex3]
agora pra simplificar isso, teria que resolver a cúbica [tex3]r^2 ( a+b+c+r) = 4abc[/tex3] e substituir. Acho que fica gigante.
O wolframalpha não aguenta https://www.wolframalpha.com/input/?i=x ... %29%3D4abc
[tex3]r = y + \frac{a+b+c}3 \implies y^3 - \frac y3 (a+b+c)^2 + \frac2{27} (a+b+c)^3 = 4abc[/tex3] esse [tex3]y[/tex3] é gigante: https://www.wolframalpha.com/input/?i=% ... 2+%3D+4abc
[tex3]S^2 = (y^2 + \frac{(a+b+c)^2}9)[(a+b+c)^2 - 2(a^2+b^2+c^2)] + y(12abc - \frac23 (a+b+c)[(a+b+c)^2-2(a^2+b^2+c^2)])[/tex3]
[tex3]y = \sqrt[3]{-\frac q2 + \delta} + \sqrt[3]{-\frac q2 - \delta}[/tex3] , com [tex3]q = \frac2{27}(a+b+c)^3 - 4abc, \delta = \sqrt{(\frac q2)^2 - (\frac{(a+b+c)^2}{9})^3 }[/tex3]
o delta deu negativo, então há 3 raízes reais e distintas.
Olha, avancei um pouco mais e parece que existe a chance da expressão final não ser muito feia. Se alguém quiser continuar daqui:
- Encontre uma raíz cúbica do número complexo:
[tex3]z = (\frac{a+b+c}3)^3 - 2abc + 2i\sqrt{abc((\frac{a+b+c}3)^3-abc)}[/tex3]
parece monstruoso, mas o módulo desse número é [tex3](\frac{a+b+c}3)^3[/tex3] , logo a raíz cúbica terá módulo [tex3]\frac{a+b+c}3[/tex3] . O argumento da raíz cúbica talvez seja o problema. Chame uma das raízes cúbicas do número [tex3]z[/tex3] de [tex3]\beta = \sqrt[3]z[/tex3] .
- calcule [tex3]\gamma = -\frac{(\frac{a+b+c}3)^2}{\beta}[/tex3] e então [tex3]y_1 = \gamma - \beta[/tex3] será uma raíz real do problema.
e [tex3]\frac 1 r = \frac 1 {r_a}+\frac 1 {r_b}+\frac 1 {r_c}[/tex3]
[tex3]\frac 1 r = \frac 1 {r+2f_a}+\frac 1 {r+2f_b}+\frac 1 {r+2f_c}[/tex3]
substituindo [tex3]f_a \leftrightarrow a[/tex3] e as outras duas:
[tex3]r^2 ( a+b+c+r) = 4abc[/tex3] . A ideia é usar a relação [tex3]S^2 = rr_ar_br_c[/tex3] , mas não acho que dê pra contornar a primeira cúbica, cuja resposta é meio gigante....
Eu cheguei que:
[tex3]S^2 = r^2[ (a+b+c)^2 - 2(a^2+b^2+c^2)] + 4abc(3r+a+b+c)[/tex3]
agora pra simplificar isso, teria que resolver a cúbica [tex3]r^2 ( a+b+c+r) = 4abc[/tex3] e substituir. Acho que fica gigante.
O wolframalpha não aguenta https://www.wolframalpha.com/input/?i=x ... %29%3D4abc
[tex3]r = y + \frac{a+b+c}3 \implies y^3 - \frac y3 (a+b+c)^2 + \frac2{27} (a+b+c)^3 = 4abc[/tex3] esse [tex3]y[/tex3] é gigante: https://www.wolframalpha.com/input/?i=% ... 2+%3D+4abc
[tex3]S^2 = (y^2 + \frac{(a+b+c)^2}9)[(a+b+c)^2 - 2(a^2+b^2+c^2)] + y(12abc - \frac23 (a+b+c)[(a+b+c)^2-2(a^2+b^2+c^2)])[/tex3]
[tex3]y = \sqrt[3]{-\frac q2 + \delta} + \sqrt[3]{-\frac q2 - \delta}[/tex3] , com [tex3]q = \frac2{27}(a+b+c)^3 - 4abc, \delta = \sqrt{(\frac q2)^2 - (\frac{(a+b+c)^2}{9})^3 }[/tex3]
o delta deu negativo, então há 3 raízes reais e distintas.
Olha, avancei um pouco mais e parece que existe a chance da expressão final não ser muito feia. Se alguém quiser continuar daqui:
- Encontre uma raíz cúbica do número complexo:
[tex3]z = (\frac{a+b+c}3)^3 - 2abc + 2i\sqrt{abc((\frac{a+b+c}3)^3-abc)}[/tex3]
parece monstruoso, mas o módulo desse número é [tex3](\frac{a+b+c}3)^3[/tex3] , logo a raíz cúbica terá módulo [tex3]\frac{a+b+c}3[/tex3] . O argumento da raíz cúbica talvez seja o problema. Chame uma das raízes cúbicas do número [tex3]z[/tex3] de [tex3]\beta = \sqrt[3]z[/tex3] .
- calcule [tex3]\gamma = -\frac{(\frac{a+b+c}3)^2}{\beta}[/tex3] e então [tex3]y_1 = \gamma - \beta[/tex3] será uma raíz real do problema.
Última edição: FelipeMartin (Qua 10 Nov, 2021 20:01). Total de 10 vezes.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
Nov 2021
10
15:24
Re: Geometria Plana - Problema 34 (fórmula de área)
Este problema é lendário, muito semelhante ao triângulo russo
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
-
- Mensagens: 2223
- Registrado em: Sáb 04 Jul, 2020 10:47
- Última visita: 13-04-24
Nov 2021
10
15:24
Re: Geometria Plana - Problema 34 (fórmula de área)
jvmago, não é possível hahaha manda a solução ai
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
Nov 2021
10
15:25
Re: Geometria Plana - Problema 34 (fórmula de área)
Lembre-se do "Terror Geométrico", as vezes basta um produto notável
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
-
- Mensagens: 2223
- Registrado em: Sáb 04 Jul, 2020 10:47
- Última visita: 13-04-24
Nov 2021
10
15:28
Re: Geometria Plana - Problema 34 (fórmula de área)
jvmago, a resposta do primeiro já é uma cúbica. Não é possível que tenha uma expressão "simples" (quadrática) só por plana... qual a ideia dele?
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
Nov 2021
10
15:30
Re: Geometria Plana - Problema 34 (fórmula de área)
r²(a+b+c+r)=4*(4R*S)
r²(2p+r)=16R*S
S²(2p+r)=16Rr²S
S(2p+r)=16Rr²
Convido a todos os geometras do fórum a refletirem sobre essa última passagem
r²(2p+r)=16R*S
S²(2p+r)=16Rr²S
S(2p+r)=16Rr²
Convido a todos os geometras do fórum a refletirem sobre essa última passagem
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
-
- Mensagens: 2223
- Registrado em: Sáb 04 Jul, 2020 10:47
- Última visita: 13-04-24
Nov 2021
10
15:32
Re: Geometria Plana - Problema 34 (fórmula de área)
jvmago, essas passagens são verdadeiras, mas a ideia não é deixar em função de [tex3]a,b[/tex3]
e [tex3]c[/tex3]
?
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
Nov 2021
10
15:34
Re: Geometria Plana - Problema 34 (fórmula de área)
Siim, porém essa equação pode ser chave para uma visualização mais clara
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
-
- Mensagens: 2223
- Registrado em: Sáb 04 Jul, 2020 10:47
- Última visita: 13-04-24
Nov 2021
10
15:49
Re: Geometria Plana - Problema 34 (fórmula de área)
jvmago, ué... se usar que [tex3]4R = r_a + r_b + r_c - r[/tex3]
, você chega que: [tex3]S = 8r^2[/tex3]
. O que é absurdo.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 0 Respostas
- 190 Exibições
-
Última msg por Pensador1987
-
- 1 Respostas
- 190 Exibições
-
Última msg por zeoueugenio
-
- 1 Respostas
- 5160 Exibições
-
Última msg por Carlosft57
-
- 0 Respostas
- 502 Exibições
-
Última msg por jvmago
-
- 8 Respostas
- 1120 Exibições
-
Última msg por jvmago