Olimpíadas

Associamos o inteiro -1 a cada aresta de um poliedro convexo. Então, associamos a cada vértice o produto dos números associados às arestas que nele incidem. Finalmente, associamos a cada face o produto dos números associados às suas arestas. Quais os possíveis valores da soma de todos estes números?

Boa tarde.

Alguém teve êxito?

Seja P um poliedro convexo com V vértices, A arestas e F faces. Sejam [tex3]V_i[/tex3] e [tex3]F_i,i\geq3,[/tex3] o número de vértices nos quais incidem i arestas e o número de faces que têm i arestas, respectivamente.
Sejam
[tex3]V_I=V_3+V_5+V_7+...;P_I=P_3+P_5+P_7+...\\
V_P=V_4+V_6+V_8+...;P_P=P_4+P_6+P_8+...[/tex3]
Lembre que
[tex3](-1)^n=\begin{cases}1;\text{ se n é par}\\-1;\text{ se n é ímpar}\end{cases}[/tex3]
Assim, seja S a soma do enunciado.
Temos que
[tex3]S=-A-V_I+V_P-F_I+F_P[/tex3]
Mas, pela relação de Euler,
[tex3]V-A+F=2[/tex3]
E temos que
[tex3]V_I+V_P=V;F_I+F_P=F[/tex3]
Assim, temos que
[tex3]S=2-2(V_I+P_I)[/tex3]
Agora, note que
[tex3]3V_I+4V_P\leq3V_3+4V_4+5V_5+...=2A\\
3F_I+4F_4\leq3F_3+4F_4+5F_5+...=2A[/tex3]
Somando as duas desigualdades, vem que
[tex3]3V_I+3F_I+4[(V-V_I)+(F-F_I)]\leq4A\implies\\
V_I+F_I\geq4(V-A+F)=8[/tex3]
Mas note que
[tex3]V_I+2V_3+4V_4+4V_5+6V_6+...=2A\\
F_I+2F_3+4F_4+4F_5+6F_6+...=2A[/tex3]
Assim, [tex3]V_I[/tex3] e [tex3]F_I[/tex3] são números pares, logo, [tex3]V_I+F_I=2k[/tex3]
Mas [tex3]V_I+F_I\geq8\implies k\geq4[/tex3]
Finalmente,
[tex3]\boxed{S=2-2\cdot2k=2-4k;k\geq4}[/tex3]

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