Resposta
A solução é bastante simples (não necessariamente trivial) e elegante.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
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Prof. Caju
Olimpíadas ⇒ Demonstração - Expoentes e fatorial Tópico resolvido
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mcarvalho
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Abr 2020
07
11:07
Demonstração - Expoentes e fatorial
Demonstre que [tex3](2n-1)!\le n^{2n-1}[/tex3]
.
A solução é bastante simples (não necessariamente trivial) e elegante.
A solução é bastante simples (não necessariamente trivial) e elegante.
"Dizem que não existe almoço grátis. Mas o universo é o derradeiro almoço grátis"
Alan Guth
Alan Guth
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mcarvalho
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Abr 2020
08
16:15
Re: Demonstração - Expoentes e fatorial
Bem, vamos lá. Postei porque achei a solução e o problema bem bacanas.
Seja o conjunto [tex3]S=\{ x_1,x_2..x_n\}[/tex3] . Definimos:
i) [tex3](AM)_S=\frac{\sum^n_{i=1}x_i}{n}[/tex3] a média aritmética de S;
ii) [tex3](GM)_S=\sqrt[n]{\prod^{n}_{i=1}{x_{i}}}[/tex3] a média geométrica de S;
iii) [tex3](HM)_S=\frac{n}{\sum^n_{i=1}\frac{1}{x_i}}[/tex3] a média harmônica de S.
A teoria de desigualdade de médias nos garante que será verdade:
[tex3](AM)_S\ge(GM)_S\ge(HM)_S[/tex3]
Isto é, a média aritmética será maior que a média geométrica que será maior que a média harmônica. A ideia que usaremos aqui é de tentar encontrar essas médias na expressão, o que é fácil, pois podemos fazer: [tex3](2n-1)!\le n^{2n-1}\rightarrow\sqrt[2n-1]{(2n-1)!}\le n\\\sqrt[2n-1]{(2n-1)\times(2n-2)\times(2n-3)\times ... \times 2 \times 1}\le n[/tex3] .
Sucede que [tex3]\sqrt[2n-1]{(2n-1)\times ... \times 2 \times 1}[/tex3] é exatamente, por definição, a média geométrica dos [tex3]2n-1[/tex3] primeiros numeros naturais não-nulos.
Nós também podemos - e que bom que podemos - calcular a média aritmética desses [tex3]2n-1[/tex3] números, que será: [tex3]\frac{1+2+...+(2n-2)+(2n-1)}{2n-1}[/tex3]
A soma [tex3]1+2+...+(2n-1)[/tex3] é a soma da PA de termo inicial 1, razão 1 e termo final 2n-1. Resulta, pela fórmula, em: [tex3]\frac{(1+2n-1)(2n-1)}{2}=n(2n-1)[/tex3] . A média aritmética será [tex3]\frac{n(2n-1)}{2n-1}=n[/tex3] .
Então está satisfeito o nosso problema. De fato:
[tex3]\sqrt[2n-1]{(2n-1)\times ... \times 2 \times 1}\le n\\(GM)_{2n-1}\le (AM)_{2n-1}[/tex3]
Q.E.D.
(a demonstração da desigualdade de médias está na página da Wikipedia que linkei).
Seja o conjunto [tex3]S=\{ x_1,x_2..x_n\}[/tex3] . Definimos:
i) [tex3](AM)_S=\frac{\sum^n_{i=1}x_i}{n}[/tex3] a média aritmética de S;
ii) [tex3](GM)_S=\sqrt[n]{\prod^{n}_{i=1}{x_{i}}}[/tex3] a média geométrica de S;
iii) [tex3](HM)_S=\frac{n}{\sum^n_{i=1}\frac{1}{x_i}}[/tex3] a média harmônica de S.
A teoria de desigualdade de médias nos garante que será verdade:
[tex3](AM)_S\ge(GM)_S\ge(HM)_S[/tex3]
Isto é, a média aritmética será maior que a média geométrica que será maior que a média harmônica. A ideia que usaremos aqui é de tentar encontrar essas médias na expressão, o que é fácil, pois podemos fazer: [tex3](2n-1)!\le n^{2n-1}\rightarrow\sqrt[2n-1]{(2n-1)!}\le n\\\sqrt[2n-1]{(2n-1)\times(2n-2)\times(2n-3)\times ... \times 2 \times 1}\le n[/tex3] .
Sucede que [tex3]\sqrt[2n-1]{(2n-1)\times ... \times 2 \times 1}[/tex3] é exatamente, por definição, a média geométrica dos [tex3]2n-1[/tex3] primeiros numeros naturais não-nulos.
Nós também podemos - e que bom que podemos - calcular a média aritmética desses [tex3]2n-1[/tex3] números, que será: [tex3]\frac{1+2+...+(2n-2)+(2n-1)}{2n-1}[/tex3]
A soma [tex3]1+2+...+(2n-1)[/tex3] é a soma da PA de termo inicial 1, razão 1 e termo final 2n-1. Resulta, pela fórmula, em: [tex3]\frac{(1+2n-1)(2n-1)}{2}=n(2n-1)[/tex3] . A média aritmética será [tex3]\frac{n(2n-1)}{2n-1}=n[/tex3] .
Então está satisfeito o nosso problema. De fato:
[tex3]\sqrt[2n-1]{(2n-1)\times ... \times 2 \times 1}\le n\\(GM)_{2n-1}\le (AM)_{2n-1}[/tex3]
Q.E.D.
(a demonstração da desigualdade de médias está na página da Wikipedia que linkei).
Editado pela última vez por mcarvalho em 08 Abr 2020, 16:17, em um total de 1 vez.
"Dizem que não existe almoço grátis. Mas o universo é o derradeiro almoço grátis"
Alan Guth
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