OlimpíadasRepresentação decimal de fração Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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poisedom
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Mar 2020 19 07:55

Representação decimal de fração

Mensagem não lida por poisedom »

Questão 34 do livro do Problemas selecionados de Matemática do Gandhi

A representação decimal de [tex3]\dfrac{m}{n}[/tex3] , onde [tex3]m[/tex3] e [tex3]n[/tex3] são inteiros positivos primos entre si e [tex3]m<n[/tex3] , contém os algarismos [tex3]2[/tex3] ,[tex3]5[/tex3] e [tex3]1[/tex3] consecutivamente e nessa ordem. O menor valor de [tex3]n[/tex3] para o qual isso é possível é:
[tex3](A)121[/tex3]
[tex3](B)123[/tex3]
[tex3](C)125[/tex3]
[tex3](D)127[/tex3]
[tex3](E)129[/tex3]

Link do livro https://www.lcm.com.br/site/livros/deta ... atica.html
Resposta

Gabarito Letra D

Última edição: caju (Qui 19 Mar, 2020 10:17). Total de 2 vezes.
Razão: arrumar título (regra 4).



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Tassandro
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Re: Representação decimal de fração

Mensagem não lida por Tassandro »

Note que a parte decimal de [tex3]\frac{m}{n}[/tex3] começa com os dígitos [tex3]0.251...[/tex3] . Então, basta resolvermos a inequação

[tex3]251n < 1000m < 252n[/tex3]
[tex3]n < 250(4m-n) < 2n[/tex3]

O menor valor de [tex3]4m-n[/tex3] é [tex3]1[/tex3] , e temos que [tex3]250 < 2n \implies 125 < n[/tex3] . Como [tex3]4m-n = 1[/tex3] precisamos que [tex3]n+1[/tex3] seja divisível por [tex3]4[/tex3] , e isso ocorre primeiramente para [tex3]n = \boxed{ 127 }[/tex3] .

(Logo, [tex3]m = 32[/tex3] e a fração é [tex3]\frac{32}{127}\approx 0.2519685...[/tex3] )

Última edição: Tassandro (Qui 19 Mar, 2020 14:56). Total de 2 vezes.


Dias de luta, dias de glória.

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