OlimpíadasFração Irredutível Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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poisedom
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Fração Irredutível

Mensagem não lida por poisedom »

Questão 86 do livro do Problemas selecionados de Matemática do (gandhi)

Gostaria de saber como resolver o seguinte problema

A soma do numerador com o denominador da fração irredutível equivalente a [tex3]\dfrac{101011\cdots10101}{110011\cdots10011}[/tex3] onde tanto o numerador quanto o denominador contêm quatro zeros e [tex3]2005[/tex3] un´s é igual a:
[tex3](A)18990[/tex3]
[tex3](B)18992[/tex3]
[tex3](C)18994[/tex3]
[tex3](D)18996[/tex3]
[tex3](E)18998[/tex3]


Link do livro https://www.lcm.com.br/site/livros/deta ... atica.html
Resposta

Gabarito Letra B

Última edição: caju (Qui 19 Mar, 2020 10:16). Total de 2 vezes.
Razão: arrumar título (regra 4).



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Tassandro
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Re: Fração Irredutível

Mensagem não lida por Tassandro »

Sabe se existe algum PDF desse livro?

Última edição: Tassandro (Qui 19 Mar, 2020 10:34). Total de 1 vez.


Dias de luta, dias de glória.

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Tassandro
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Re: Fração Irredutível

Mensagem não lida por Tassandro »

[tex3]mdc((10^{2009}-1)/9 - 10 - 10^3 - 10^{2007} - 10^{2005}, (10^{2009}-1)/9 - 10^2 - 10^3 - 10^{2006} - 10^{2005})[/tex3]

[tex3]= mdc(-10-10^{2007}+ 10^{2006}+10^2, (10^{2009}-1)/9-10^2-10^3-10^{2006} - 10^{2005})[/tex3]

[tex3]=mdc(90 - 9 \cdot 10^{2006}, (10^{2009} - 1)/9 - 1100 -11\cdot 10^{2005})[/tex3]

[tex3]= mdc(1 - 10^{2005}, (10^{2009}-1)/9 - 1100 - 11\cdot 10^{2005})
= mdc(1 - 10^{2005}, (10^{2009}-1)/9 - 1111)[/tex3]

[tex3]= mdc(9 - 9\cdot 10^{2005}, 10^{2009} - 1 - 9999)/9[/tex3]
[tex3]= mdc(9 - 9\cdot 10^{2005}, 9\cdot 10^{2009} - 90000)/81[/tex3]
[tex3]= mdc(9 - 9 \cdot10^{2005}, 0)/81
= (10^{2005} -1)/9[/tex3]

Resposta [tex3]= num/mdc + den/mdc[/tex3]

[tex3]=9 (num + den)/(10^{2005} - 1)[/tex3]

[tex3]= 9 (211022..20112)/(10^{2005}-1)[/tex3]
[tex3]= 9( 2(10^{2009} - 1)/9 - 10^{2007} - 10^{2006} - 2\cdot 10^{2005} - 10 - 100 - 2000)/(10^{2005} - 1)[/tex3]
[tex3]= (2\cdot 10^{2009} - 2 - 9 [10^{2007} + 10^{2006} + 2\cdot 10^{2005} + 2110])/(10^{2005} - 1)[/tex3]
[tex3]= (20000 \cdot10^{2005} - 2 - 18990 - 9 \cdot 112 \cdot 10^{2005})/(10^{2005} - 1)[/tex3]
[tex3]= (18992 \cdot 10^{2005} - 18992)/(10^{2005} - 1)[/tex3]
[tex3]= 18992, Q.E.D.[/tex3]


Dias de luta, dias de glória.

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poisedom
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Re: Fração Irredutível

Mensagem não lida por poisedom »

Não conheço nenhum PDF desse livro. Valeu




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