Uma sequência é definida por [tex3]a_1 = 2[/tex3]
e [tex3]a_n = 3a_{n−1} + 1[/tex3]
. Determine a soma [tex3]a_1 + a_2 + . . . + a_n[/tex3]
.
Não conclui, mas cheguei a :
[tex3]a_n-a_{n-1}=3(a_{n-1}- a_{n-2})[/tex3]
[tex3]a_{n-1}-a_{n-2}= 3(a_{n-2}-a_{n-3})[/tex3]
[tex3].[/tex3]
[tex3].[/tex3]
[tex3].[/tex3]
[tex3]a_2-a_1= 2[/tex3]
Olimpíadas ⇒ Produto Telescópico Tópico resolvido
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Jul 2020
21
12:01
Re: Produto Telescópico
vamos la
vou chamar [tex3]x [/tex3] de [tex3]a_1[/tex3] para facilitar a digitação
[tex3]x=2[/tex3]
[tex3]a_2 = 3x+1[/tex3]
[tex3]a_3 = 3(3x+1)+1 = 9x + 4[/tex3]
[tex3]a_4 = 3(9x+4) + 1=27x + 13[/tex3]
[tex3]a_5 = 3(27x+13)+1 = 81x + 40[/tex3]
se você reparar parece que [tex3]a_n = 3^{n-1}x+\frac{3^{n-1}-1}{2}[/tex3]
por Indução
base: [tex3]a_2 = 3x+ \frac{2}{2}=3x+1[/tex3]
certo, então funciona na base agora vamos supor que funcione para um certo número k
[tex3]a_k = 3^{k-1}x+\frac{3^{k-1}-1}{2}[/tex3]
agora multiplicando isso por 3 e depois somando 1, que é o que o enunciado diz que é a formula para calcular o próximo termo
[tex3]3a_k + 1 = 3( 3^{k-1}x+\frac{3^{k-1}-1}{2}) + 1[/tex3]
[tex3]a_{k+1} = 3^kx+\frac{3^k-3}{2}+1 = 3^kx+\frac{3^k-1}{2}-\frac{2}{2}+1 = 3^{k}x+\frac{3^{k}-1}{2} [/tex3]
que é igual o que obteríamos se aplicássemos nossa formula a em [tex3]a_{k+1}[/tex3]
fica assim provado que nossa formula é valida
agora queremos achar uma formular para soma [tex3]x+a_2+a_3+...+a_n[/tex3]
que como vimos podemos escrever que nem
[tex3]3^0x+\frac{3^0-1}{2}+3^1x+\frac{3^1-1}{2}+...+3^{(n-1)}x+\frac{3^{(n-1)}-1}{2} = S_n[/tex3]
[tex3]S_n = 3^0x+3^1x+3^2x+...+3^{n-1}x+\frac{3^0-1+3^1-1+3^2-1+...+3^{n-1}-1}{2}[/tex3]
agora usando [tex3]a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)[/tex3]
[tex3]3^n-1=2(3^{n-1}+3^{n-2}+...+3+1)[/tex3]
[tex3]S_n = x\frac {3^n-1}{2}+\frac{3^0-1+3^1-1+3^2-1+...+3^{n-1}-1}{2}[/tex3]
veja que podemos reescrever
[tex3]\frac{3^0-1+3^1-1+3^2-1+...+3^{n-1}-1}{2} = \frac{3^0+3+3^2+...+3^{n-1}-n}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{3^0+3+3^2+...+3^{n-1}-n}{2} = \frac{\frac{3^n-1}{2}-n}{2} = \frac{\frac{3^n-1-2n}{2}}{2} = \frac{3^n-1-2n}{4}[/tex3]
[tex3]S_n=\frac{3^n-1-2n}{4} + x\frac {3^n-1}{2}=\frac{(3^n-1)(2x+1)-2n}{4} [/tex3]
substituindo x pelo seu valor
[tex3]S_n = \frac{(3^n-1)5-2n}{4}[/tex3]
vou chamar [tex3]x [/tex3] de [tex3]a_1[/tex3] para facilitar a digitação
[tex3]x=2[/tex3]
[tex3]a_2 = 3x+1[/tex3]
[tex3]a_3 = 3(3x+1)+1 = 9x + 4[/tex3]
[tex3]a_4 = 3(9x+4) + 1=27x + 13[/tex3]
[tex3]a_5 = 3(27x+13)+1 = 81x + 40[/tex3]
se você reparar parece que [tex3]a_n = 3^{n-1}x+\frac{3^{n-1}-1}{2}[/tex3]
por Indução
base: [tex3]a_2 = 3x+ \frac{2}{2}=3x+1[/tex3]
certo, então funciona na base agora vamos supor que funcione para um certo número k
[tex3]a_k = 3^{k-1}x+\frac{3^{k-1}-1}{2}[/tex3]
agora multiplicando isso por 3 e depois somando 1, que é o que o enunciado diz que é a formula para calcular o próximo termo
[tex3]3a_k + 1 = 3( 3^{k-1}x+\frac{3^{k-1}-1}{2}) + 1[/tex3]
[tex3]a_{k+1} = 3^kx+\frac{3^k-3}{2}+1 = 3^kx+\frac{3^k-1}{2}-\frac{2}{2}+1 = 3^{k}x+\frac{3^{k}-1}{2} [/tex3]
que é igual o que obteríamos se aplicássemos nossa formula a em [tex3]a_{k+1}[/tex3]
fica assim provado que nossa formula é valida
agora queremos achar uma formular para soma [tex3]x+a_2+a_3+...+a_n[/tex3]
que como vimos podemos escrever que nem
[tex3]3^0x+\frac{3^0-1}{2}+3^1x+\frac{3^1-1}{2}+...+3^{(n-1)}x+\frac{3^{(n-1)}-1}{2} = S_n[/tex3]
[tex3]S_n = 3^0x+3^1x+3^2x+...+3^{n-1}x+\frac{3^0-1+3^1-1+3^2-1+...+3^{n-1}-1}{2}[/tex3]
agora usando [tex3]a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)[/tex3]
[tex3]3^n-1=2(3^{n-1}+3^{n-2}+...+3+1)[/tex3]
[tex3]S_n = x\frac {3^n-1}{2}+\frac{3^0-1+3^1-1+3^2-1+...+3^{n-1}-1}{2}[/tex3]
veja que podemos reescrever
[tex3]\frac{3^0-1+3^1-1+3^2-1+...+3^{n-1}-1}{2} = \frac{3^0+3+3^2+...+3^{n-1}-n}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{3^0+3+3^2+...+3^{n-1}-n}{2} = \frac{\frac{3^n-1}{2}-n}{2} = \frac{\frac{3^n-1-2n}{2}}{2} = \frac{3^n-1-2n}{4}[/tex3]
[tex3]S_n=\frac{3^n-1-2n}{4} + x\frac {3^n-1}{2}=\frac{(3^n-1)(2x+1)-2n}{4} [/tex3]
substituindo x pelo seu valor
[tex3]S_n = \frac{(3^n-1)5-2n}{4}[/tex3]
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