- [tex3]\begin{cases}x^2+y=7\\x+y^2=11 \end{cases}[/tex3]
Olimpíadas ⇒ Sistemas Não-Lineares Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mai 2007
04
14:58
Sistemas Não-Lineares
Resolva o sistema:
Última edição: victorv (Sex 04 Mai, 2007 14:58). Total de 1 vez.
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Mai 2007
10
20:53
Re: Sistemas Não-Lineares
Olá
Um modo mais fácil e prático de fazer:
Um modo mais fácil e prático de fazer:
- [tex3]\begin{cases}x^2 + y = 2^2 + 3\\ y^2 + x = 3^2 + 2 \end{cases}[/tex3]
Última edição: Auto Excluído (ID:276) (Qui 10 Mai, 2007 20:53). Total de 1 vez.
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Mai 2007
11
14:06
Re: Sistemas Não-Lineares
Mas se [tex3]x[/tex3]
e [tex3]y[/tex3]
pertencem aos reais essa é só uma das soluções ou estou enganado?
Última edição: marco_sx (Sex 11 Mai, 2007 14:06). Total de 1 vez.
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Mai 2007
11
22:48
Re: Sistemas Não-Lineares
Creio que esteja enganado marcos, não vejo outro número como solução. Negativo não servirá.
Não sei, poste como você resolveu.
Não sei, poste como você resolveu.
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Mai 2007
12
22:35
Re: Sistemas Não-Lineares
Fazendo uma análise do gráfico das duas parábolas do sistema indicado vemos que o mesmo terá quatro respostas reais.
Em busca da quarta bandeirinha.....
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Mai 2007
13
20:25
Re: Sistemas Não-Lineares
Pois é bigjohn, pensei da mesma forma.
A solução encontrada pelo Pedro seria a solução trivial. Trabalhando com substituições chega-se em um polinômio do 4º grau e aí, com a solução encontrada, caímos em uma equação do 3º grau reduzindo o grau do polinômio.
Tentei supor que duas das raízes são irracionais e uma delas é racional mas não saiu nada. Tentei também fazer substituições do tipo [tex3]x+y=a[/tex3] e [tex3]x.y=b[/tex3] e jogar no sistema original mas também não saiu nada.
Se alguém conseguir ter pelo menos uma outra idéia por favor poste aí. Já estou ficando revoltado com esse problema.
A solução encontrada pelo Pedro seria a solução trivial. Trabalhando com substituições chega-se em um polinômio do 4º grau e aí, com a solução encontrada, caímos em uma equação do 3º grau reduzindo o grau do polinômio.
Tentei supor que duas das raízes são irracionais e uma delas é racional mas não saiu nada. Tentei também fazer substituições do tipo [tex3]x+y=a[/tex3] e [tex3]x.y=b[/tex3] e jogar no sistema original mas também não saiu nada.
Se alguém conseguir ter pelo menos uma outra idéia por favor poste aí. Já estou ficando revoltado com esse problema.
Última edição: marco_sx (Dom 13 Mai, 2007 20:25). Total de 1 vez.
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Fev 2008
06
21:46
Re: Sistemas Não-Lineares
Olá pessoal,
Para encontrar todas as soluções deste sistema de equações no domínio dos números reais, a abordagem tradicional é isolar uma das incógnitas [tex3](x[/tex3] ou [tex3]y)[/tex3] numa das equações e substituir na outra.
Pode-se isolar o [tex3]y[/tex3] na primeira equação:
Abaixo, segue o conjunto com a solução exata da equação.
Para encontrar todas as soluções deste sistema de equações no domínio dos números reais, a abordagem tradicional é isolar uma das incógnitas [tex3](x[/tex3] ou [tex3]y)[/tex3] numa das equações e substituir na outra.
Pode-se isolar o [tex3]y[/tex3] na primeira equação:
- [tex3]y = 7 - x^2[/tex3]
- [tex3]x^4 - 14 x^2 + x + 38 = 0[/tex3]
- [tex3]x = 2[/tex3]
[tex3]y = 7 - 2^2 = 3[/tex3]
- [tex3]x^3 + 2 x^2 - 10 x - 19 = 0[/tex3]
Abaixo, segue o conjunto com a solução exata da equação.
- [tex3]S = \{(2,\,3),\,(x_k,\,y_k)\}[/tex3]
[tex3]x_k = \frac{ 2 }{ 3 } \left\{ \sqrt{ 34 } \,\cos \left[ \frac{ 1 }{ 3 } \,\text{arccos} \left( \frac{ 317 \sqrt{ 34 } }{ 2312 } \right) + \frac{ 2 k \pi }{ 3 } \right] - 1 \right\},[/tex3] com [tex3]k \in \{0,\,1,\,2\}[/tex3]
[tex3]y_k = 7 - \frac{ 4 }{ 9 } \left\{\sqrt{ 34 } \,\cos \left[ \frac{ 1 }{ 3 } \,\text{arccos} \left( \frac{ 317 \sqrt{ 34 } }{ 2312 } \right) + \frac{ 2 k \pi }{ 3 } \right] - 1 \right\}^2,[/tex3] com [tex3]k \in \{0,\,1,\,2\}[/tex3] , tal que:
- [tex3]S = \{ (2,\,3), \,(3,13;\,-2,81) \,(-3,28;\,-3,78) \,(-1,85;\,3,58) \}[/tex3]
Última edição: Rogério Moraes (Qua 06 Fev, 2008 21:46). Total de 1 vez.
Rogério Moraes de Carvalho
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Jul 2008
20
20:15
Re: Sistemas Não-Lineares
Para saber mais sobre o método mencionado pelo Rogério acesse o link: Cubic Formula (MathWorld)
Última edição: Karl Weierstrass (Dom 20 Jul, 2008 20:15). Total de 1 vez.
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