OlimpíadasSistemas Não-Lineares Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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victorv
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Sistemas Não-Lineares

Mensagem não lida por victorv »

Resolva o sistema:
  • [tex3]\begin{cases}x^2+y=7\\x+y^2=11 \end{cases}[/tex3]

Última edição: victorv (Sex 04 Mai, 2007 14:58). Total de 1 vez.



Auto Excluído (ID:276)
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Mai 2007 10 20:53

Re: Sistemas Não-Lineares

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:276) »

Olá

Um modo mais fácil e prático de fazer:
  • [tex3]\begin{cases}x^2 + y = 2^2 + 3\\ y^2 + x = 3^2 + 2 \end{cases}[/tex3]
Logo, temos que [tex3]x = 2[/tex3] e [tex3]y = 3[/tex3]

Última edição: Auto Excluído (ID:276) (Qui 10 Mai, 2007 20:53). Total de 1 vez.



marco_sx
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Mai 2007 11 14:06

Re: Sistemas Não-Lineares

Mensagem não lida por marco_sx »

Mas se [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] pertencem aos reais essa é só uma das soluções ou estou enganado?
Última edição: marco_sx (Sex 11 Mai, 2007 14:06). Total de 1 vez.



Auto Excluído (ID:276)
6 - Doutor
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Mai 2007 11 22:48

Re: Sistemas Não-Lineares

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:276) »

Creio que esteja enganado marcos, não vejo outro número como solução. Negativo não servirá.
Não sei, poste como você resolveu.



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bigjohn
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Mai 2007 12 22:35

Re: Sistemas Não-Lineares

Mensagem não lida por bigjohn »

Fazendo uma análise do gráfico das duas parábolas do sistema indicado vemos que o mesmo terá quatro respostas reais.


Em busca da quarta bandeirinha.....

marco_sx
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Re: Sistemas Não-Lineares

Mensagem não lida por marco_sx »

Pois é bigjohn, pensei da mesma forma.
A solução encontrada pelo Pedro seria a solução trivial. Trabalhando com substituições chega-se em um polinômio do 4º grau e aí, com a solução encontrada, caímos em uma equação do 3º grau reduzindo o grau do polinômio.
Tentei supor que duas das raízes são irracionais e uma delas é racional mas não saiu nada. Tentei também fazer substituições do tipo [tex3]x+y=a[/tex3] e [tex3]x.y=b[/tex3] e jogar no sistema original mas também não saiu nada.
Se alguém conseguir ter pelo menos uma outra idéia por favor poste aí. Já estou ficando revoltado com esse problema.
Última edição: marco_sx (Dom 13 Mai, 2007 20:25). Total de 1 vez.



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Rogério Moraes
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Re: Sistemas Não-Lineares

Mensagem não lida por Rogério Moraes »

Olá pessoal,

Para encontrar todas as soluções deste sistema de equações no domínio dos números reais, a abordagem tradicional é isolar uma das incógnitas [tex3](x[/tex3] ou [tex3]y)[/tex3] numa das equações e substituir na outra.

Pode-se isolar o [tex3]y[/tex3] na primeira equação:
  • [tex3]y = 7 - x^2[/tex3]
Substituindo [tex3]y[/tex3] na primeira equação, obtemos a seguinte equação de quarto grau:
  • [tex3]x^4 - 14 x^2 + x + 38 = 0[/tex3]
Pesquisando as raízes racionais, descobrimos que [tex3]2[/tex3] é raiz. Logo, obtemos a primeira solução do sistema:
  • [tex3]x = 2[/tex3]

    [tex3]y = 7 - 2^2 = 3[/tex3]
Usando o dispositivo de Briot-Ruffini para baixar o grau da equação, obtemos:
  • [tex3]x^3 + 2 x^2 - 10 x - 19 = 0[/tex3]
Resolvendo esta equação de terceiro grau, concluímos que ela possui [tex3]3[/tex3] raízes reais e distintas. Sendo que a equação é irredutível, não podendo ser resolvida por radicais. Deste modo, a equação pode ser resolvida pelo método trigonométrico, encontrando-se as outras soluções do sistema.

Abaixo, segue o conjunto com a solução exata da equação.
  • [tex3]S = \{(2,\,3),\,(x_k,\,y_k)\}[/tex3] , tal que:

    [tex3]x_k = \frac{ 2 }{ 3 } \left\{ \sqrt{ 34 } \,\cos \left[ \frac{ 1 }{ 3 } \,\text{arccos} \left( \frac{ 317 \sqrt{ 34 } }{ 2312 } \right) + \frac{ 2 k \pi }{ 3 } \right] - 1 \right\},[/tex3] com [tex3]k \in \{0,\,1,\,2\}[/tex3]

    [tex3]y_k = 7 - \frac{ 4 }{ 9 } \left\{\sqrt{ 34 } \,\cos \left[ \frac{ 1 }{ 3 } \,\text{arccos} \left( \frac{ 317 \sqrt{ 34 } }{ 2312 } \right) + \frac{ 2 k \pi }{ 3 } \right] - 1 \right\}^2,[/tex3] com [tex3]k \in \{0,\,1,\,2\}[/tex3]
Abaixo, segue o conjunto com a solução aproximada da equação.
  • [tex3]S = \{ (2,\,3), \,(3,13;\,-2,81) \,(-3,28;\,-3,78) \,(-1,85;\,3,58) \}[/tex3]
Última edição: Rogério Moraes (Qua 06 Fev, 2008 21:46). Total de 1 vez.


Rogério Moraes de Carvalho

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Karl Weierstrass
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Jul 2008 20 20:15

Re: Sistemas Não-Lineares

Mensagem não lida por Karl Weierstrass »

Para saber mais sobre o método mencionado pelo Rogério acesse o link: Cubic Formula (MathWorld)

Última edição: Karl Weierstrass (Dom 20 Jul, 2008 20:15). Total de 1 vez.



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