Olimpíadas ⇒ Fatoração e produtos notaveis Tópico resolvido

[Deleted User 23699]

Se a b e c são raizes do polinomio p(x) = x^3 + x^2 -333x - 1001. Determine a^3 + b^3 + c^3.

Possuo uma resolução para essa questão via fatoracao + relações de girard. (Com essa resoluçao cheguei no gabarito aqui escrito).
Todavia, quando bati o olho e fiz por soma de newton, não cheguei no mesmo gabarito. Gostaria que alguém verificasse essa resoluçao p/ mim. (Resolver por soma de newton)

Resposta

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2669

[παθμ]

[tex3]x^3+x^2-333x-1001=0.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^3+x^2-333x-1001=0.[/tex3]

Relações de Girard: [tex3]a+b+c=-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+b+c=-1[/tex3]

, [tex3]ab+ac+bc=-333[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ab+ac+bc=-333[/tex3]

, [tex3]abc=1001.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]abc=1001.[/tex3]

[tex3](a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc) \Longrightarrow 1=a^2+b^2+c^2-666 \Longrightarrow a^2+b^2+c^2=667.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc) \Longrightarrow 1=a^2+b^2+c^2-666 \Longrightarrow a^2+b^2+c^2=667.[/tex3]

[tex3]a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-(ab+ac+bc))+3abc=-(667+333)+3003=\boxed{2003}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-(ab+ac+bc))+3abc=-(667+333)+3003=\boxed{2003}[/tex3]

Ou, então, por somas de Newton:

[tex3]x^3=1001+333x-x^2 \Longrightarrow a^3+b^3+c^3=3003+333(a+b+c)-(a^2+b^2+c^2)=3003-333-667=\boxed{2003}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^3=1001+333x-x^2 \Longrightarrow a^3+b^3+c^3=3003+333(a+b+c)-(a^2+b^2+c^2)=3003-333-667=\boxed{2003}[/tex3]

Minha resposta bate com o Wolfram, para que não hajam dúvidas.