Olimpíadas ⇒ Geometria Plana - Trapézio

[FelipeAndrade]

Tome um trapézio de lados e distância entre as bases paralelas sendo inteiros. Prove que o perímetro desse trapézio é par e sua área é inteiro

[joaovitor]

Pegando como referência um trapézio isósceles de lados l, e bases B e b, sendo B > b.

Então o perímetro (p) do trapézio seria igual ao que segue:

p = l + l+ B + b
p = 2l + B + b

Isolando 2l

2l = p - B - b
2l = p - (B+b)

2l certamente é um número par, pois é múltiplo de 2.

Então, a diferença entre p e (B+b) deve ser um número par. Mas, para que isso ocorra, ambos devem ser pares ou ímpares ao mesmo tempo. Então analisemos os casos e o que isso implica na área.

Caso I) p e (B+b) pares

Se os dois forem pares, a área do trapézio, para ser um número inteiro, não dependerá do fato da altura ser ímpar ou par. Sendo a altura ímpar ou par, a área continuará sendo um número inteiro.

Caso II) p e (B+b) ímpares

Se os dois forem ímpares, a área do trapézio, para ser um número inteiro, dependerá do fato da altura ser um número ímpar ou par. Pois, se for ímpar, não será um número inteiro. Então, nesse caso, a altura deve ser um número par e a possibilidade da altura ser um número ímpar não existe.

Em resumo,

No caso I, a altura pode ser ímpar ou par.

No caso II, a altura deve ser um número par.


No caso I)

Seja (B+b) = 2a e p = 2b

Então

2l = 2b - 2a
2l = 2(b-a)
l = b - a

No caso II)

Seja (B+b)= 2a + 1 e p = 2b + 1

2l = (2b + 1) - (2a+1)
2l = 2b + 1 - 2a - 1
2l = 2b - 2a
2l = 2(b-a)
l = b-a


Perceba que, em ambos os casos, a medida de l é igual, ou seja, os casos I e II, teoricamente, deveriam ser iguais.


No caso I, altura ímpar ou par.

No caso II, altura par.

Então o caso I seria uma generalização do caso II, já que o inclui.

Portanto o caso I é uma generalização pra todos os casos.


Servindo ele como solução, o perímetro (p) é par e a área é um número inteiro, não importando o valor da altura.

c.q.d (eu acho kkkk)


Não tô muito bem, matematicamente falando kkkk, então me desculpa qualquer erro
ou se a resolução estiver errada. Tentei.

[FelipeAndrade]

mas você só provou pra um trapézio isósceles é necessário provar pra qualquer tipo de trapézio.. (também imagino que a resolução implique num caso geral e não seja necessário provar pra cada tipo de trapézio)