Se [tex3]x[/tex3]
e [tex3]y[/tex3]
são números reais não-nulos tais que [tex3]x=1+\frac{1}{y}[/tex3]
e [tex3]y=1+\frac{1}{x}[/tex3]
, então [tex3]y[/tex3]
é igual a:
a-) [tex3]x-1[/tex3]
b-) [tex3]1-x[/tex3]
c-) [tex3]1+x[/tex3]
d-) [tex3]-x[/tex3]
e-) [tex3]x[/tex3]
Olimpíadas ⇒ (EUA) - Álgebra Tópico resolvido
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deOliveira 
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Jan 2020
24
12:41
Re: (EUA) - Álgebra
[tex3]x=1+\frac{1}{y}\implies1=x-\frac1y[/tex3]
[tex3]y=1+\frac{1}{x}\implies1=y-\frac1x[/tex3]
Então:
[tex3]x-\frac1y=y-\frac1x\\x-y=\frac1y-\frac1x\\x-y=\frac{x-y}{xy}\\(x-y)-\frac{x-y}{xy}=0\\(x-y)\left(1-\frac1{xy}\right)=0\\\implies x-y=0\ ou\ 1-\frac1{xy}\\x-y=0\implies y=x\\1-\frac1{xy}=0\implies x=\frac1y\leftarrow\ não \ convém[/tex3]
Repare que se [tex3]x=\frac1y[/tex3] como temos que [tex3]x=1+\frac{1}{y}[/tex3] substituindo o [tex3]x[/tex3] temos
[tex3]\frac1y=1+\frac1y\implies1=0\leftarrow \ absurdo[/tex3]
[tex3]\therefore \ \boxed{\boxed{y=x}}[/tex3]
Espero ter ajudado.
[tex3]y=1+\frac{1}{x}\implies1=y-\frac1x[/tex3]
Então:
[tex3]x-\frac1y=y-\frac1x\\x-y=\frac1y-\frac1x\\x-y=\frac{x-y}{xy}\\(x-y)-\frac{x-y}{xy}=0\\(x-y)\left(1-\frac1{xy}\right)=0\\\implies x-y=0\ ou\ 1-\frac1{xy}\\x-y=0\implies y=x\\1-\frac1{xy}=0\implies x=\frac1y\leftarrow\ não \ convém[/tex3]
Repare que se [tex3]x=\frac1y[/tex3] como temos que [tex3]x=1+\frac{1}{y}[/tex3] substituindo o [tex3]x[/tex3] temos
[tex3]\frac1y=1+\frac1y\implies1=0\leftarrow \ absurdo[/tex3]
[tex3]\therefore \ \boxed{\boxed{y=x}}[/tex3]
Espero ter ajudado.
Última edição: deOliveira (Sex 24 Jan, 2020 13:08). Total de 1 vez.
Razão: melhorar explicação
Razão: melhorar explicação
Saudações.
-
goncalves3718
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Jan 2020
24
12:55
Re: (EUA) - Álgebra
Entendi que [tex3]x-y=1-\frac{1}{x-y}[/tex3]
mas não entendi [tex3]x=1+\frac{1}{y}[/tex3]
-
deOliveira
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Jan 2020
24
13:06
Re: (EUA) - Álgebra
[tex3]x=1+\frac{1}{y}[/tex3]
isso tá no enunciado.
[tex3]x-y=1-\frac{1}{x-y}[/tex3] isso aqui eu não sei de onde você tirou.
[tex3]x-y=1-\frac{1}{x-y}[/tex3] isso aqui eu não sei de onde você tirou.
Saudações.
-
jomatlove 
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Jan 2020
24
14:21
Re: (EUA) - Álgebra
Resolução:
[tex3]\bullet x=1+\frac{1}{y}\rightarrow xy=y+1[/tex3]
[tex3]\bullet y=1+\frac{1}{x}\rightarrow xy=x+1[/tex3]
Por comparação:
[tex3]y+1=x+1\rightarrow y=x [/tex3]
[tex3]\bullet x=1+\frac{1}{y}\rightarrow xy=y+1[/tex3]
[tex3]\bullet y=1+\frac{1}{x}\rightarrow xy=x+1[/tex3]
Por comparação:
[tex3]y+1=x+1\rightarrow y=x [/tex3]
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