Olimpíadas ⇒ Equação Tópico resolvido

[goncalves3718]

Mostre que [tex3]x^2 −y^2 = a^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2 −y^2 = a^3[/tex3]

sempre tem solução inteira [tex3](x,y)[/tex3]

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[tex3](x,y)[/tex3]

, dado que [tex3]a ∈ Z[/tex3]

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[tex3]a ∈ Z[/tex3]

.

Resposta

---

Dica: Observe que o problema não pede todas as soluções dessa equação. Assim, fatore o lado esquerdo e faça[tex3] x + y = a^2[/tex3] e [tex3]x−y = a[/tex3] .

[undefinied3]

É realmente só fazer o que a dica fala:

[tex3](x-y)(x+y)=a^3[/tex3]

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[tex3](x-y)(x+y)=a^3[/tex3]

, mas como a é inteiro, [tex3]a^2\geq a[/tex3]

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[tex3]a^2\geq a[/tex3]

, de modo que podemos conjecturar:

[tex3]\begin{cases}
x+y=a^2 \\
x-y=a
\end{cases} \rightarrow x=\frac{a^2+a}{2}, \ y=\frac{a^2-a}{2}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
x+y=a^2 \\
x-y=a
\end{cases} \rightarrow x=\frac{a^2+a}{2}, \ y=\frac{a^2-a}{2}[/tex3]

Basta mostrar que x e y são inteiros. Isso é imediato, pois [tex3]a^2 \pm a = a(a\pm +1)[/tex3]

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[tex3]a^2 \pm a = a(a\pm +1)[/tex3]

, que é um produto de dois inteiros consecutivos. Ora, em dois inteiros consecutivos, garantimos que um deles é par, logo o produto é divisível por 2. Segue que x e y são inteiros e uma solução para a equação é esta proposta.

[goncalves3718]

Nossa, muito obrigado!