Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Olimpíadas ⇒ Bulgária 2005 - Lógica Tópico resolvido
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goncalves3718
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Jan 2020
24
11:28
Bulgária 2005 - Lógica
(Bulgária 2005) Ivo escreve todos os inteiros de [tex3]1[/tex3]
a [tex3]100[/tex3]
(inclusive) em cartas e dá algumas delas para Iana. Sabe-se que para quaisquer duas destas, uma de Ivo e outra de Iana, a soma dos números não está com Ivo e o produto não está com Iana. Determine o número de cartas de Iana sabendo que a carta [tex3]13[/tex3]
está com Ivo.
-
AnthonyC
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Out 2021
13
21:48
Re: Bulgária 2005 - Lógica
Se Ivo tiver o [tex3]1[/tex3]
, pra qualquer carta de valor [tex3]n[/tex3]
que Iana tiver, basta pegar a carta [tex3]1[/tex3]
de Ivo e a carta [tex3]n[/tex3]
de Iana e multiplicar as duas, resultando em [tex3]n[/tex3]
. Mas como Iana não pode ter o produto, então ela não pode conter a carta [tex3]n[/tex3]
, para qualquer valor de [tex3]n[/tex3]
. Em outras palavras, Iana não pode ter nenhuma carta. Mas segundo o enunciado, Iana contém uma quantidade não nula de cartas. Logo, este caso é impossível.
Portanto, Iana contém o [tex3]1[/tex3]. Como Ivo contém a carta [tex3]13[/tex3], então a carta [tex3]13+1=14 [/tex3] não está com Ivo, pois ele não contém a soma. Assim, [tex3]14[/tex3] está com Iana. Analogamente, [tex3]13+14=27[/tex3] não está com Ivo, assim como as cartas [tex3]13+27=40[/tex3], [tex3]13+40=53[/tex3], [tex3]13+53=66[/tex3], [tex3]13+66=79[/tex3] e [tex3]13+79=92[/tex3]. Assim, pra cada carta [tex3]v[/tex3] que Ivo possui e para cada carta [tex3]a[/tex3] que Iana possuí, as cartas da forma [tex3]a+k\cdot v, k\in \mathbb{N}[/tex3] não estarão com Ivo (vou deixar como tarefa pra você provar isso, dica: indução). Como [tex3]13[/tex3] está com Ivo, vamos estudar o seguinte caso:
[tex3]13=a+kv[/tex3]
Para cada solução inteira que obtivermos da equação acima, teremos uma impossibilidade, pois teremos a soma como sendo 13 e a soma não pode estar com Ivo. Vamos então considerar os casos de [tex3]v<13[/tex3] :
Portanto, Iana contém o [tex3]1[/tex3]. Como Ivo contém a carta [tex3]13[/tex3], então a carta [tex3]13+1=14 [/tex3] não está com Ivo, pois ele não contém a soma. Assim, [tex3]14[/tex3] está com Iana. Analogamente, [tex3]13+14=27[/tex3] não está com Ivo, assim como as cartas [tex3]13+27=40[/tex3], [tex3]13+40=53[/tex3], [tex3]13+53=66[/tex3], [tex3]13+66=79[/tex3] e [tex3]13+79=92[/tex3]. Assim, pra cada carta [tex3]v[/tex3] que Ivo possui e para cada carta [tex3]a[/tex3] que Iana possuí, as cartas da forma [tex3]a+k\cdot v, k\in \mathbb{N}[/tex3] não estarão com Ivo (vou deixar como tarefa pra você provar isso, dica: indução). Como [tex3]13[/tex3] está com Ivo, vamos estudar o seguinte caso:
[tex3]13=a+kv[/tex3]
Para cada solução inteira que obtivermos da equação acima, teremos uma impossibilidade, pois teremos a soma como sendo 13 e a soma não pode estar com Ivo. Vamos então considerar os casos de [tex3]v<13[/tex3] :
- [tex3]v=2[/tex3] , não é possível, pois [tex3]13=1+6\cdot 2[/tex3] , logo, 2 está com Iana;
- [tex3]v=3[/tex3] , não é possível, pois [tex3]13=1+4\cdot 3[/tex3] , logo, 3 está com Iana;
- [tex3]v=4[/tex3]
, não é possível, pois [tex3]13=1+3\cdot 4[/tex3]
, logo, 4 está com Iana;
- [tex3]v=5[/tex3], não é possível, pois [tex3]13=3+2\cdot 5[/tex3], logo, 5 está com Iana;
- [tex3]v=6[/tex3] , não é possível, pois [tex3]13=1+2\cdot 6[/tex3] , logo, 6 está com Iana;
- [tex3]v=7[/tex3] , não é possível, pois [tex3]13=6+1\cdot 7[/tex3] , logo, 7 está com Iana;
- [tex3]v=8[/tex3] , não é possível, pois [tex3]13=7+1\cdot 8[/tex3] , logo, 8 está com Iana;
- [tex3]v=9[/tex3]
, não é possível, pois [tex3]13=8+1\cdot 9[/tex3]
, logo, 9 está com Iana;
- [tex3]v=10[/tex3], não é possível, pois [tex3]13=9+1\cdot 10[/tex3], logo, 10 está com Iana;
- [tex3]v=11[/tex3] , não é possível, pois [tex3]13=10+1\cdot 11[/tex3] , logo, 11 está com Iana;
- [tex3]v=12[/tex3] , não é possível, pois [tex3]13=11+1\cdot 12[/tex3] , logo, 12 está com Iana;
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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