Para quais números reais [tex3]a,b,c [/tex3]
com [tex3](a \neq 0,b \neq 0,c \neq 0,a + b + c \neq 0) [/tex3]
vale a igualdade [tex3]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}[/tex3]
?
Minha resolução:
[tex3]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{-(a+b)}{c}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{a+b}{c}=0[/tex3]
[tex3]\frac{bc+ac+(a+b)\cdot ab}{abc}=0[/tex3]
[tex3]c(a+b) + ab(a+b)=0[/tex3]
[tex3](a+b)(a+c)=0[/tex3]
Possibilidades:
- Se [tex3](a+b)=0\implies a=-b[/tex3]
- Se [tex3](a+c)=0\implies a=-c \implies c=-a[/tex3]
Cheguei nessas duas soluções, mas há uma resposta, que no caso é: [tex3]b=-c[/tex3]
que não consegui "chegar"! Vocês poderiam me ajudar, ou me informar se essa resposta está errada?
Olimpíadas ⇒ Questão de Álgebra Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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undefinied3 
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- Registrado em: Dom 02 Ago, 2015 13:51
- Última visita: 30-09-22
Jan 2020
19
20:39
Re: Questão de Álgebra
Sua passagem da segunda pra terceira linha está matematicamente errada.
[tex3]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c} \rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{c-(a+b+c)}{c(a+b+c)}[/tex3]
[tex3]\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{-(a+b)}{c(a+b+c)}[/tex3]
[tex3]\frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{1}{a+b+c} \rightarrow abc=(ab+ac+bc)(a+b+c)[/tex3]
[tex3]abc=a^2b+ab^2+abc+a^2c+abc+ac^2+abc+b^2c+bc^2[/tex3]
[tex3]a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+2abc=0[/tex3]
Isso aqui é chato de fatorar. Quando eu caio em coisas assim e preciso ver se da pra fatorar, eu tento achar manualmente as raízes antes. É natural testarmos coisas do tipo [tex3]a=\pm b[/tex3] , [tex3]a=\pm c[/tex3] , enfim, pois não tem outra maneira do lado esquerdo ser zero.
Vamos tentar [tex3]a=-b[/tex3]
[tex3]b^3-b^3+b^2c-bc^2+b^2c+bc^2-2b^2c=0[/tex3] , então [tex3]a-b[/tex3] é uma raiz.
É intuitivo que [tex3]a=-c[/tex3] também vai zerar, assim como [tex3]b=-c[/tex3] , pois a expressão é totalmente simétrica. Além disso, o grau do polinômio é 3, então já temos 3 raizes.
Segue que aquela expressão se reduz a [tex3](a+b)(a+c)(b+c)=0[/tex3]
Então a igualdade só vale para [tex3]a=-b[/tex3] ou [tex3]a=-c[/tex3] ou [tex3]b=-c[/tex3]
Tome cuidado porque outras passagens que você fez na sua tentativa também estão matematicamente erradas, como da linha 6 para 7.
[tex3]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c} \rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{c-(a+b+c)}{c(a+b+c)}[/tex3]
[tex3]\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{-(a+b)}{c(a+b+c)}[/tex3]
[tex3]\frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{1}{a+b+c} \rightarrow abc=(ab+ac+bc)(a+b+c)[/tex3]
[tex3]abc=a^2b+ab^2+abc+a^2c+abc+ac^2+abc+b^2c+bc^2[/tex3]
[tex3]a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+2abc=0[/tex3]
Isso aqui é chato de fatorar. Quando eu caio em coisas assim e preciso ver se da pra fatorar, eu tento achar manualmente as raízes antes. É natural testarmos coisas do tipo [tex3]a=\pm b[/tex3] , [tex3]a=\pm c[/tex3] , enfim, pois não tem outra maneira do lado esquerdo ser zero.
Vamos tentar [tex3]a=-b[/tex3]
[tex3]b^3-b^3+b^2c-bc^2+b^2c+bc^2-2b^2c=0[/tex3] , então [tex3]a-b[/tex3] é uma raiz.
É intuitivo que [tex3]a=-c[/tex3] também vai zerar, assim como [tex3]b=-c[/tex3] , pois a expressão é totalmente simétrica. Além disso, o grau do polinômio é 3, então já temos 3 raizes.
Segue que aquela expressão se reduz a [tex3](a+b)(a+c)(b+c)=0[/tex3]
Então a igualdade só vale para [tex3]a=-b[/tex3] ou [tex3]a=-c[/tex3] ou [tex3]b=-c[/tex3]
Tome cuidado porque outras passagens que você fez na sua tentativa também estão matematicamente erradas, como da linha 6 para 7.
Última edição: undefinied3 (Dom 19 Jan, 2020 20:49). Total de 2 vezes.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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goncalves3718
- Mensagens: 816
- Registrado em: Qui 26 Dez, 2019 15:26
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Jan 2020
19
20:47
Re: Questão de Álgebra
Nossa, verdade! Errei muito e feio! Mas estou iniciando essa carreira e pode deixar que aprenderei sempre com meus erros! Obrigado pela ajuda!
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