Sejam [tex3]a,b,c[/tex3]
e [tex3]d[/tex3]
inteiros distintos tais que a equação
[tex3](x-a)(x-b)(x-c)(x-d)-4=0[/tex3]
possui uma raiz inteira [tex3]r[/tex3]
. Mostre que [tex3]4r=a+b+c+d[/tex3]
Cheguei só até:
[tex3](r-a)(r-b)(r-c)(r-d)=4[/tex3]
, já que [tex3]r[/tex3]
né raiz, substitui o [tex3]x[/tex3]
por [tex3]r[/tex3]
.Me ajudem por favor...
Olimpíadas ⇒ Álgebra Tópico resolvido
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MateusQqMD 
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Mar 2020
05
22:01
Re: Álgebra
Olá, goncalves3718.
A ideia realmente é substituir [tex3]r[/tex3] na equação. Depois disso, basta analisar a igualdade que surge
Como [tex3]a, b, c[/tex3] e [tex3]d[/tex3] são inteiros distintos, e [tex3]r[/tex3] é uma raiz inteira, todos os fatores na multiplicação acima são distintos entre si e também inteiros. Segue, daí, que
A ideia realmente é substituir [tex3]r[/tex3] na equação. Depois disso, basta analisar a igualdade que surge
[tex3](r-a)(r-b)(r-c)(r-d)=4[/tex3]
Como [tex3]a, b, c[/tex3] e [tex3]d[/tex3] são inteiros distintos, e [tex3]r[/tex3] é uma raiz inteira, todos os fatores na multiplicação acima são distintos entre si e também inteiros. Segue, daí, que
[tex3](r-a)(r-b)(r-c)(r-d)=4 \,\,\,\, \begin{cases}
r - a = -2 \\\\
r - b = -1 \\\\
r - c = 1 \\\\
r - d = 2 \\\\
\end{cases}[/tex3]
r - a = -2 \\\\
r - b = -1 \\\\
r - c = 1 \\\\
r - d = 2 \\\\
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\therefore \,\,\,\, 4r=a+b+c+d.[/tex3]
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
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goncalves3718
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