Olimpíadas

Prove que se os coeficientes de uma equação quadrática [tex3]ax^2+bx+c[/tex3] são inteiros ímpares, então as raízes da equação não podem ser números racionais.

Boa tarde.

Bem, vou tomar a liberdade de ressuscitar algum tópicos antigos da seção de olimpíadas ainda sem resposta e traduzir soluções em inglês que eu encontrar. Acho interessante porque traz o tópico à tona novamente, devolve uma solução (ainda que não produzida caseiramente) ao autor do tópico, e, enfim, para mim, eu posso ter contato com problemas que, da minha parte, dificilmente iria atrás sozinho.

Esse foi traduzido dessa página.

São inteiros ímpares os termos [tex3]a,b,c[/tex3] da equação [tex3]ax^2+bx+c=0[/tex3] . Para que haja raízes racionais, basta que [tex3]\Delta = n^2[/tex3] , com [tex3]n[/tex3] um inteiro qualquer.

Então: [tex3]\Delta=b^2-4ac=n^2\rightarrow b^2-n^2=4ac\\(b+n)(b-n)=4ac[/tex3]

Concorde: [tex3]4ac[/tex3] é par, então pelo menos um dos dois fatores [tex3](b+n),(b-n)[/tex3] tem de ser par. Se [tex3]b[/tex3] é necessariamente ímpar, [tex3]n[/tex3] tem de ser par para [tex3](b\pm n)[/tex3] ser par. Escrevemos: [tex3]n=2k[/tex3] .

Vem: [tex3](b+n)(b-n)=(b+2k)(b-2k)=b^2-4k^2=4ac\rightarrow b^2=4(ac+k^2)[/tex3]

Absurdo: [tex3]b^2[/tex3] é múltiplo de 4 e [tex3]b[/tex3] é ímpar.

Olimpíadas ⇒ Equação quadrática

Equação quadrática

Re: Equação quadrática

Olimpíadas ⇒ Equação quadrática

Equação quadrática

Re: Equação quadrática

Entrar • Registrar