Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Olimpíadas ⇒ (POTI) - Divisibilidade Tópico resolvido
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Jan 2020
16
21:15
(POTI) - Divisibilidade
Seja [tex3]n > 1[/tex3]
Acho que tem a ver com a fatoração da aula 1
e [tex3]k [/tex3]
um inteiro positivo qualquer. Prove que [tex3](n−1)^2|(n^k −1)[/tex3]
se, e somente se , [tex3](n−1)|k [/tex3]
. Acho que tem a ver com a fatoração da aula 1
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Jan 2020
17
00:00
Re: (POTI) - Divisibilidade
Temos:
[tex3]\frac{n^k-1^k}{(n-1)^2}=\frac{(n-1)}{n-1}\cdot\frac{(n^{k-1}+n^{k-2} ... n-1+ 1^{k-1})}{(n-1)}[/tex3] , a primeira parte da expressão é divísivel, então resta:
[tex3]\frac{(n^{k-1}+n^{k-2} ... n-1+ 1^{k-1})}{(n-1)}=\frac {n^{k-1}}{(n-1)}+\frac{n^{k-2}}{(n-1)}+ ... \frac{(n-1)}{(n-1)}+\frac{1^{k-1}}{(n-1)}[/tex3]
Números da forma: [tex3]\frac{n^x-1}{(n-1)} [/tex3] são inteiros, mas não consegui provar o que exercício pediu!
[tex3]\frac{n^k-1^k}{(n-1)^2}=\frac{(n-1)}{n-1}\cdot\frac{(n^{k-1}+n^{k-2} ... n-1+ 1^{k-1})}{(n-1)}[/tex3] , a primeira parte da expressão é divísivel, então resta:
[tex3]\frac{(n^{k-1}+n^{k-2} ... n-1+ 1^{k-1})}{(n-1)}=\frac {n^{k-1}}{(n-1)}+\frac{n^{k-2}}{(n-1)}+ ... \frac{(n-1)}{(n-1)}+\frac{1^{k-1}}{(n-1)}[/tex3]
Números da forma: [tex3]\frac{n^x-1}{(n-1)} [/tex3] são inteiros, mas não consegui provar o que exercício pediu!
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Jan 2020
17
14:32
Re: (POTI) - Divisibilidade
O que você quer é provar que [tex3](n-1)^2|(n^k-1)\iff (n-1)|k[/tex3]
Temos a fatoração [tex3]x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+...+xy^{n-2}+y^{n-1})[/tex3]
(creio que você tenha se enganado na hora de fatorar, não tem esse n-1)
[tex3]n^k-1=(n^{k-1}+n^{k-2}+...+1)(n^k-1)[/tex3]
[tex3]\implies \frac{n^k-1}{(n-1)^2}=\frac{n^{k-1}+n^{k-2}+...+1}{n-1}=\\\frac{n^{k-1}}{n-1}+\frac{n^{k-2}}{n-1}+...+\frac n{n-1}+\frac1{n-1}=\\\frac{n^{k-1}}{n-1}+\frac{n^{k-2}}{n-1}+...+\frac n{n-1}+\frac1{n-1}+\frac k{n-1}-\frac{k}{n-1}=\\
\frac{n^{k-1}-1}{n-1}+\frac{n^{k-2}-1}{n-1}+...+\frac {n-1}{n-1}+\frac{1-1}{n-1}+\frac k{n-1}[/tex3]
Cada um dos [tex3]\frac{n^x-1}{n-1}[/tex3] inteiro
[tex3](\Longleftarrow)[/tex3] [tex3]\frac k{n-1}[/tex3] também é inteiro pois [tex3](n-1)|k[/tex3]
[tex3](\Longrightarrow)[/tex3] [tex3]\frac k{n-1}[/tex3] é inteiro somente se [tex3](n-1)|k[/tex3]
Creio que seja isso. A sacada era somar e subtrair [tex3]\frac k{n-1}[/tex3] .
Espero ter ajudado .
Temos a fatoração [tex3]x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+...+xy^{n-2}+y^{n-1})[/tex3]
(creio que você tenha se enganado na hora de fatorar, não tem esse n-1)
[tex3]n^k-1=(n^{k-1}+n^{k-2}+...+1)(n^k-1)[/tex3]
[tex3]\implies \frac{n^k-1}{(n-1)^2}=\frac{n^{k-1}+n^{k-2}+...+1}{n-1}=\\\frac{n^{k-1}}{n-1}+\frac{n^{k-2}}{n-1}+...+\frac n{n-1}+\frac1{n-1}=\\\frac{n^{k-1}}{n-1}+\frac{n^{k-2}}{n-1}+...+\frac n{n-1}+\frac1{n-1}+\frac k{n-1}-\frac{k}{n-1}=\\
\frac{n^{k-1}-1}{n-1}+\frac{n^{k-2}-1}{n-1}+...+\frac {n-1}{n-1}+\frac{1-1}{n-1}+\frac k{n-1}[/tex3]
Cada um dos [tex3]\frac{n^x-1}{n-1}[/tex3] inteiro
[tex3](\Longleftarrow)[/tex3] [tex3]\frac k{n-1}[/tex3] também é inteiro pois [tex3](n-1)|k[/tex3]
[tex3](\Longrightarrow)[/tex3] [tex3]\frac k{n-1}[/tex3] é inteiro somente se [tex3](n-1)|k[/tex3]
Creio que seja isso. A sacada era somar e subtrair [tex3]\frac k{n-1}[/tex3] .
Espero ter ajudado .
Editado pela última vez por deOliveira em 17 Jan 2020, 14:55, em um total de 3 vezes.
Razão: corrigir erro de digitação
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Saudações.
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Jan 2020
17
14:37
Re: (POTI) - Divisibilidade
[tex3]x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+...+xy^{n-2}+y^{n-1})[/tex3]
[tex3]{n^k-1^k}={(n-1)}\cdot{(n^{k-1}+n^{k-2} ... n-1+ 1^{k-1})}[/tex3] , certo?
, se [tex3]x=n[/tex3]
e [tex3]y=1[/tex3]
, temos sim:[tex3]{n^k-1^k}={(n-1)}\cdot{(n^{k-1}+n^{k-2} ... n-1+ 1^{k-1})}[/tex3] , certo?
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Jan 2020
17
14:40
Re: (POTI) - Divisibilidade
Não
[tex3]n^k-1=(n-1)(n^{k-1}+n^{k-2}\cdot1+n^{k-3}\cdot1^2+...+n\cdot1^{k-2}+1^{k-1})=\\
(n-1)(n^{k-1}+n^{k-2}+...+n+1)[/tex3]
Repara que na aparece nenhum menos.
Repara também que [tex3]-1+1^{k-1}=-1+1=0[/tex3]
[tex3]n^k-1=(n-1)(n^{k-1}+n^{k-2}\cdot1+n^{k-3}\cdot1^2+...+n\cdot1^{k-2}+1^{k-1})=\\
(n-1)(n^{k-1}+n^{k-2}+...+n+1)[/tex3]
Repara que na aparece nenhum menos.
Repara também que [tex3]-1+1^{k-1}=-1+1=0[/tex3]
Editado pela última vez por deOliveira em 17 Jan 2020, 14:42, em um total de 1 vez.
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Jan 2020
17
14:49
Re: (POTI) - Divisibilidade
Como chegou na conclusão, em que subtrai 1 de cada termo?
[tex3]\frac{n^{k-1}-1}{n-1}+\frac{n^{k-2}-1}{n-1}+...+\frac {n-1}{n-1}+\frac{1-1}{n-1}-\frac k{n-1}[/tex3]
[tex3]\frac{n^{k-1}-1}{n-1}+\frac{n^{k-2}-1}{n-1}+...+\frac {n-1}{n-1}+\frac{1-1}{n-1}-\frac k{n-1}[/tex3]
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Jan 2020
17
14:54
Re: (POTI) - Divisibilidade
[tex3]\frac{n^{k-1}}{n-1}+\frac{n^{k-2}}{n-1}+...+\frac{n}{n-1}+\frac{1}{n-1}[/tex3]
Vamos contar quantas frações temos aí, eu vou fazer da esquerda para a direita, mas tanto faz.
[tex3]\underbrace{\frac{n^{k-1}}{n-1}}_k+\underbrace{\frac{n^{k-2}}{n-1}}_{k-1}+...+\underbrace{\frac{n}{n-1}}_2+\underbrace{\frac{1}{n-1}}_1[/tex3]
Então eu posso "distribuir" o [tex3]-\frac k{n-1}[/tex3] como tirando [tex3]1[/tex3] de cada um dos denominadores.
Vamos contar quantas frações temos aí, eu vou fazer da esquerda para a direita, mas tanto faz.
[tex3]\underbrace{\frac{n^{k-1}}{n-1}}_k+\underbrace{\frac{n^{k-2}}{n-1}}_{k-1}+...+\underbrace{\frac{n}{n-1}}_2+\underbrace{\frac{1}{n-1}}_1[/tex3]
Então eu posso "distribuir" o [tex3]-\frac k{n-1}[/tex3] como tirando [tex3]1[/tex3] de cada um dos denominadores.
Saudações.
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Jan 2020
17
17:09
Re: (POTI) - Divisibilidade
A gente tem isso:
[tex3]\frac{n^{k-1}+n^{k-2}+...+n+1}{n-1}[/tex3]
Eu vou somar e subtrair k do numerador.
[tex3]\frac{n^{k-1}+n^{k-2}+...+n+1+k-k}{n-1}[/tex3]
Vou escrever [tex3]-k[/tex3] como a soma de [tex3]k[/tex3] menos uns
[tex3]\frac{n^{k-1}+n^{k-2}+...+n+1+k+(\underbrace{-1-1-...-1}_{k\ menos\ uns})}{n-1}[/tex3]
Agora como a adição é comutativa eu vou mudar a ordem dessas parcelas, eu vou colocar um -1 depois de cada [tex3]n^x[/tex3]
[tex3]\frac{(n^{k-1}-1)+(n^{k-2}-1)+...+(n-1)+(1-1)+k}{n-1}[/tex3]
E aí a gente pode separar em várias frações
[tex3]\frac{n^{k-1}-1}{n-1}+\frac{n^{k-2}-1}{n-1}+...+\frac {n-1}{n-1}+\frac{1-1}{n-1}+\frac k{n-1}[/tex3]
Obs: Tem de reparar que em [tex3]n^{k-1}+n^{k-2}+...+n+1[/tex3] existem k parcelas.
[tex3]n^{k-1}+n^{k-2}+...+n+1=\\n^{k-1}+n^{k-2}+...+n^{k-(k-1)}+n^{k-k}[/tex3]
Contando as parcelas:
[tex3]\underbrace{n^{k-1}}_1+\underbrace{n^{k-2}}_2+...+\underbrace{n^{k-(k-1)}}_{k-1}+\underbrace{n^{k-k}}_k[/tex3]
(Dessa vez eu contei da direita para a esquerda, nessa contagem o número de cada parcela [tex3]n^{k-a}[/tex3] é [tex3]a[/tex3] )
[tex3]\frac{n^{k-1}+n^{k-2}+...+n+1}{n-1}[/tex3]
Eu vou somar e subtrair k do numerador.
[tex3]\frac{n^{k-1}+n^{k-2}+...+n+1+k-k}{n-1}[/tex3]
Vou escrever [tex3]-k[/tex3] como a soma de [tex3]k[/tex3] menos uns
[tex3]\frac{n^{k-1}+n^{k-2}+...+n+1+k+(\underbrace{-1-1-...-1}_{k\ menos\ uns})}{n-1}[/tex3]
Agora como a adição é comutativa eu vou mudar a ordem dessas parcelas, eu vou colocar um -1 depois de cada [tex3]n^x[/tex3]
[tex3]\frac{(n^{k-1}-1)+(n^{k-2}-1)+...+(n-1)+(1-1)+k}{n-1}[/tex3]
E aí a gente pode separar em várias frações
[tex3]\frac{n^{k-1}-1}{n-1}+\frac{n^{k-2}-1}{n-1}+...+\frac {n-1}{n-1}+\frac{1-1}{n-1}+\frac k{n-1}[/tex3]
Obs: Tem de reparar que em [tex3]n^{k-1}+n^{k-2}+...+n+1[/tex3] existem k parcelas.
[tex3]n^{k-1}+n^{k-2}+...+n+1=\\n^{k-1}+n^{k-2}+...+n^{k-(k-1)}+n^{k-k}[/tex3]
Contando as parcelas:
[tex3]\underbrace{n^{k-1}}_1+\underbrace{n^{k-2}}_2+...+\underbrace{n^{k-(k-1)}}_{k-1}+\underbrace{n^{k-k}}_k[/tex3]
(Dessa vez eu contei da direita para a esquerda, nessa contagem o número de cada parcela [tex3]n^{k-a}[/tex3] é [tex3]a[/tex3] )
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