Olimpíadas ⇒ (POTI) - Divisibilidade Tópico resolvido
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20:29
(POTI) - Divisibilidade
Encontre todos os inteiros positivos [tex3]n[/tex3]
Meu raciocínio:
[tex3]\frac{n^2+2009}{n+2009}[/tex3]
Adicionando e subtraindo [tex3]2009^2[/tex3] :
[tex3]\frac{n^2+2009+2009^2-2009^2}{n+2009}[/tex3]
[tex3]\frac{n^2-2009^2}{n+2009}+\frac{2009+2009^ 2}{n+2009}[/tex3]
Aplicando diferença de quadrados temos que [tex3]n+2009|n^2-2009^2[/tex3] .
Fatorando [tex3]{2009+2009^ 2}[/tex3] , obtemos: [tex3]2009\cdot 2010[/tex3]
Então :
[tex3]\frac{2009\cdot 2010}{n+2009}[/tex3] . Analogamente temos: [tex3]\frac{2010\cdot 2011}{n+2010}[/tex3]
Sei que [tex3]n>0[/tex3] , mas não sei como progredir!
tais que [tex3]n + 2009[/tex3]
divide [tex3]n^2 + 2009[/tex3]
e [tex3]n + 2010 [/tex3]
divide [tex3]n^2+2010[/tex3]
.Meu raciocínio:
[tex3]\frac{n^2+2009}{n+2009}[/tex3]
Adicionando e subtraindo [tex3]2009^2[/tex3] :
[tex3]\frac{n^2+2009+2009^2-2009^2}{n+2009}[/tex3]
[tex3]\frac{n^2-2009^2}{n+2009}+\frac{2009+2009^ 2}{n+2009}[/tex3]
Aplicando diferença de quadrados temos que [tex3]n+2009|n^2-2009^2[/tex3] .
Fatorando [tex3]{2009+2009^ 2}[/tex3] , obtemos: [tex3]2009\cdot 2010[/tex3]
Então :
[tex3]\frac{2009\cdot 2010}{n+2009}[/tex3] . Analogamente temos: [tex3]\frac{2010\cdot 2011}{n+2010}[/tex3]
Sei que [tex3]n>0[/tex3] , mas não sei como progredir!
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15:02
Re: (POTI) - Divisibilidade
Consegui chegar a: [tex3]n+2010=2011k[/tex3]
Logo [tex3]n+2009=2011k-1[/tex3]
Meu amigo me disse que [tex3]n+2009=2011(k-1)+2010[/tex3] , mas não entendi não!
(múltiplo de [tex3]2011[/tex3]
) Logo [tex3]n+2009=2011k-1[/tex3]
Meu amigo me disse que [tex3]n+2009=2011(k-1)+2010[/tex3] , mas não entendi não!
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16
15:16
Re: (POTI) - Divisibilidade
[tex3]2011k-1=2011k-2011+2010=2011(k-1)+2010[/tex3]goncalves3718 escreveu: ↑Qui 16 Jan, 2020 15:02Meu amigo me disse que n+2009=2011(k−1)+2010n+2009=2011(k−1)+2010 , mas não entendi não!
O que ele fez foi escrever [tex3]-1[/tex3] de uma forma mais descolada. [tex3]-1=-2011+2010[/tex3]
Assim você chega no que seu amigo disse.
Última edição: deOliveira (Qui 16 Jan, 2020 15:34). Total de 1 vez.
Saudações.
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15:32
Re: (POTI) - Divisibilidade
Eu andei pensando um pouco e tenho um palpite.
Você chegou que [tex3]\frac{2009\cdot 2010}{n+2009}[/tex3] quer encontrar [tex3]n[/tex3] para que esse número seja um inteiro.
Repare que [tex3]2010-2009=1[/tex3] então por uma consequência do Teorema de Bezout temos que [tex3]\mdc(2010,2009)=1[/tex3]
Dessa forma se [tex3](n+2009)|(2009\cdot2010)[/tex3] e [tex3]n+2009\ne\pm1[/tex3] temos que [tex3](n+2009)|2009[/tex3] ou [tex3]n+2009|2010[/tex3]
A partir daqui você precisa analisar cada um dos casos encontrando os [tex3]n[/tex3] .
[tex3]2009=7^2\cdot41[/tex3]
Então os divisores de [tex3]2009[/tex3] são [tex3]-2009,-287,-49,-41,-7,-1,1,7,41,49,287,2009[/tex3]
Encontrar o [tex3]n[/tex3] para que [tex3]n+2009[/tex3] seja igual a cada um desses valores.
[tex3]2010=2\cdot3\cdot5\cdot67[/tex3]
Então vão ser 32 divisores o que vai dar um trabalho grande.
Eu não tenho certeza se isso tá certo, mas sei lá vai que ajuda...
Você chegou que [tex3]\frac{2009\cdot 2010}{n+2009}[/tex3] quer encontrar [tex3]n[/tex3] para que esse número seja um inteiro.
Repare que [tex3]2010-2009=1[/tex3] então por uma consequência do Teorema de Bezout temos que [tex3]\mdc(2010,2009)=1[/tex3]
Dessa forma se [tex3](n+2009)|(2009\cdot2010)[/tex3] e [tex3]n+2009\ne\pm1[/tex3] temos que [tex3](n+2009)|2009[/tex3] ou [tex3]n+2009|2010[/tex3]
A partir daqui você precisa analisar cada um dos casos encontrando os [tex3]n[/tex3] .
[tex3]2009=7^2\cdot41[/tex3]
Então os divisores de [tex3]2009[/tex3] são [tex3]-2009,-287,-49,-41,-7,-1,1,7,41,49,287,2009[/tex3]
Encontrar o [tex3]n[/tex3] para que [tex3]n+2009[/tex3] seja igual a cada um desses valores.
[tex3]2010=2\cdot3\cdot5\cdot67[/tex3]
Então vão ser 32 divisores o que vai dar um trabalho grande.
Eu não tenho certeza se isso tá certo, mas sei lá vai que ajuda...
Saudações.
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16
15:56
Re: (POTI) - Divisibilidade
Obrigado, mas pelo que meu amigo me disse:
[tex3]n+2009=2011(k-1)+2010[/tex3]
Vamos analisar as possibilidades para [tex3]n+2009[/tex3] e ver quais deixam resto 2010, na divisão por 11:
De [tex3]\frac{2009\cdot 2010}{n+2009}[/tex3] , onde [tex3]n+2009= 2010\cdot x[/tex3] , tal que [tex3]x[/tex3] seja divisível por 2009
[tex3]n+2009=2010 [/tex3] -------------->resto [tex3]2010[/tex3]
[tex3]n+2009=2010\cdot7[/tex3] ----------->resto [tex3]2004[/tex3]
[tex3]n+2009=2010\cdot41[/tex3] ---------> resto [tex3]1970[/tex3]
[tex3]n+2009=2010\cdot49[/tex3] --------->resto [tex3]1962[/tex3]
[tex3]n+2009=2010\cdot287[/tex3] -------->resto [tex3]1724[/tex3]
[tex3]n+2009=2010\cdot2009[/tex3] ------->resto [tex3]3[/tex3]
A única solução [tex3]n=1[/tex3] .
[tex3]n+2009=2011(k-1)+2010[/tex3]
Vamos analisar as possibilidades para [tex3]n+2009[/tex3] e ver quais deixam resto 2010, na divisão por 11:
De [tex3]\frac{2009\cdot 2010}{n+2009}[/tex3] , onde [tex3]n+2009= 2010\cdot x[/tex3] , tal que [tex3]x[/tex3] seja divisível por 2009
[tex3]n+2009=2010 [/tex3] -------------->resto [tex3]2010[/tex3]
[tex3]n+2009=2010\cdot7[/tex3] ----------->resto [tex3]2004[/tex3]
[tex3]n+2009=2010\cdot41[/tex3] ---------> resto [tex3]1970[/tex3]
[tex3]n+2009=2010\cdot49[/tex3] --------->resto [tex3]1962[/tex3]
[tex3]n+2009=2010\cdot287[/tex3] -------->resto [tex3]1724[/tex3]
[tex3]n+2009=2010\cdot2009[/tex3] ------->resto [tex3]3[/tex3]
A única solução [tex3]n=1[/tex3] .
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Jan 2020
16
15:58
Re: (POTI) - Divisibilidade
Mas [tex3]n=0[/tex3]
Esquece é n positivo eu não tinha lido.
serve.Esquece é n positivo eu não tinha lido.
Última edição: deOliveira (Qui 16 Jan, 2020 16:00). Total de 1 vez.
Saudações.
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Jan 2020
16
16:02
Re: (POTI) - Divisibilidade
Só mais uma pergunta,
O que o exercício pedia é [tex3]n[/tex3] em que [tex3]n + 2009[/tex3] divide [tex3]n^2 + 2009[/tex3] e [tex3]n + 2010 [/tex3] divide [tex3]n^2+2010[/tex3] .
Simultaneamente né?
O que o exercício pedia é [tex3]n[/tex3] em que [tex3]n + 2009[/tex3] divide [tex3]n^2 + 2009[/tex3] e [tex3]n + 2010 [/tex3] divide [tex3]n^2+2010[/tex3] .
Simultaneamente né?
Saudações.
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Jan 2020
16
16:17
Re: (POTI) - Divisibilidade
Sim, eu que tava pensando que fossem dois exercícios e por isso pensei naquele jeito.
Eu que não li direito.
Obrigada.
Eu que não li direito.
Obrigada.
Saudações.
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