Olimpíadas

Encontre todos os inteiros positivos [tex3]n[/tex3] tais que [tex3]n + 2009[/tex3] divide [tex3]n^2 + 2009[/tex3] e [tex3]n + 2010 [/tex3] divide [tex3]n^2+2010[/tex3] .

Meu raciocínio:

[tex3]\frac{n^2+2009}{n+2009}[/tex3]

Adicionando e subtraindo [tex3]2009^2[/tex3] :

[tex3]\frac{n^2+2009+2009^2-2009^2}{n+2009}[/tex3]

[tex3]\frac{n^2-2009^2}{n+2009}+\frac{2009+2009^ 2}{n+2009}[/tex3]

Aplicando diferença de quadrados temos que [tex3]n+2009|n^2-2009^2[/tex3] .

Fatorando [tex3]{2009+2009^ 2}[/tex3] , obtemos: [tex3]2009\cdot 2010[/tex3]

Então :

[tex3]\frac{2009\cdot 2010}{n+2009}[/tex3] . Analogamente temos: [tex3]\frac{2010\cdot 2011}{n+2010}[/tex3]

Sei que [tex3]n>0[/tex3] , mas não sei como progredir!

Consegui chegar a: [tex3]n+2010=2011k[/tex3] (múltiplo de [tex3]2011[/tex3] )

Logo [tex3]n+2009=2011k-1[/tex3]

Meu amigo me disse que [tex3]n+2009=2011(k-1)+2010[/tex3] , mas não entendi não!

goncalves3718 escreveu: ↑
Qui 16 Jan, 2020 15:02
Meu amigo me disse que n+2009=2011(k−1)+2010n+2009=2011(k−1)+2010 , mas não entendi não!

[tex3]2011k-1=2011k-2011+2010=2011(k-1)+2010[/tex3]
O que ele fez foi escrever [tex3]-1[/tex3] de uma forma mais descolada. [tex3]-1=-2011+2010[/tex3]
Assim você chega no que seu amigo disse.

Eu andei pensando um pouco e tenho um palpite.

Você chegou que [tex3]\frac{2009\cdot 2010}{n+2009}[/tex3] quer encontrar [tex3]n[/tex3] para que esse número seja um inteiro.

Repare que [tex3]2010-2009=1[/tex3] então por uma consequência do Teorema de Bezout temos que [tex3]\mdc(2010,2009)=1[/tex3]

Dessa forma se [tex3](n+2009)|(2009\cdot2010)[/tex3] e [tex3]n+2009\ne\pm1[/tex3] temos que [tex3](n+2009)|2009[/tex3] ou [tex3]n+2009|2010[/tex3]

A partir daqui você precisa analisar cada um dos casos encontrando os [tex3]n[/tex3] .

[tex3]2009=7^2\cdot41[/tex3]
Então os divisores de [tex3]2009[/tex3] são [tex3]-2009,-287,-49,-41,-7,-1,1,7,41,49,287,2009[/tex3]
Encontrar o [tex3]n[/tex3] para que [tex3]n+2009[/tex3] seja igual a cada um desses valores.

[tex3]2010=2\cdot3\cdot5\cdot67[/tex3]
Então vão ser 32 divisores o que vai dar um trabalho grande.

Eu não tenho certeza se isso tá certo, mas sei lá vai que ajuda...

Obrigado, mas pelo que meu amigo me disse:

[tex3]n+2009=2011(k-1)+2010[/tex3]

Vamos analisar as possibilidades para [tex3]n+2009[/tex3] e ver quais deixam resto 2010, na divisão por 11:

De [tex3]\frac{2009\cdot 2010}{n+2009}[/tex3] , onde [tex3]n+2009= 2010\cdot x[/tex3] , tal que [tex3]x[/tex3] seja divisível por 2009

[tex3]n+2009=2010 [/tex3] -------------->resto [tex3]2010[/tex3]
[tex3]n+2009=2010\cdot7[/tex3] ----------->resto [tex3]2004[/tex3]
[tex3]n+2009=2010\cdot41[/tex3] ---------> resto [tex3]1970[/tex3]
[tex3]n+2009=2010\cdot49[/tex3] --------->resto [tex3]1962[/tex3]
[tex3]n+2009=2010\cdot287[/tex3] -------->resto [tex3]1724[/tex3]
[tex3]n+2009=2010\cdot2009[/tex3] ------->resto [tex3]3[/tex3]

A única solução [tex3]n=1[/tex3] .

Mas [tex3]n=0[/tex3] serve.
Esquece é n positivo eu não tinha lido.

Só mais uma pergunta,
O que o exercício pedia é [tex3]n[/tex3] em que [tex3]n + 2009[/tex3] divide [tex3]n^2 + 2009[/tex3] e [tex3]n + 2010 [/tex3] divide [tex3]n^2+2010[/tex3] .
Simultaneamente né?

Sim, estou correto??

Sim, eu que tava pensando que fossem dois exercícios e por isso pensei naquele jeito.
Eu que não li direito.
Obrigada.

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