Olimpíadas ⇒ Rioplatense 1997- Lógica Tópico resolvido

[goncalves3718]

Em cada casa de um tabuleiro [tex3]4 × 4 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4 × 4 [/tex3]

é colocado um número secreto. Sabe-se que a soma dos números em cada linha, coluna e diagonal é 1. Com essa informação é possível determinar a soma dos números escritos nos quatro cantos? E a soma dos quatro números escritos no centro? Se for, quais são essas somas?

Eu cheguei a conclusão que é 1 também, estou correto!?

[deOliveira]

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Observando as linhas [tex3]A[/tex3]

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[tex3]A[/tex3]

e [tex3]D[/tex3]

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[tex3]D[/tex3]

temos
[tex3]A_1+A_2+A_3+A_4=1\\D_1+D_2+D_3+D_4=1\\\implies A_1+A_2+A_3+A_4+D_1+D_2+D_3+D_4=2\\(A_1+A_4+D_1+D_2)+(A_2+D_2+A_3+D_3)=2[/tex3]

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[tex3]A_1+A_2+A_3+A_4=1\\D_1+D_2+D_3+D_4=1\\\implies A_1+A_2+A_3+A_4+D_1+D_2+D_3+D_4=2\\(A_1+A_4+D_1+D_2)+(A_2+D_2+A_3+D_3)=2[/tex3]

Sendo [tex3]X[/tex3]

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[tex3]X[/tex3]

a soma dos números escritos nos cantos, ou seja, [tex3]X=A_1+A_4+D_1+D_4[/tex3]

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[tex3]X=A_1+A_4+D_1+D_4[/tex3]

temos
[tex3]X+(A_2+D_2+A_3+D_3)=2[/tex3]

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[tex3]X+(A_2+D_2+A_3+D_3)=2[/tex3]

Observando a coluna [tex3]2[/tex3]

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[tex3]2[/tex3]

temos
[tex3]A_2+B_2+C_2+D_2=1\implies A_2+D_2=1-(C_2+B_2)[/tex3]

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[tex3]A_2+B_2+C_2+D_2=1\implies A_2+D_2=1-(C_2+B_2)[/tex3]

Analogamente observando a coluna [tex3]3[/tex3]

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[tex3]3[/tex3]

temos [tex3]A_3+D_3=1-(C_3+B_3)[/tex3]

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[tex3]A_3+D_3=1-(C_3+B_3)[/tex3]

Com essas duas igualdades temos
[tex3]X+(A_2+D_2+A_3+D_3)=2\\X+1-(C_2+B_2)+1-(C_3+B_3)=2\\X-(C_2+D_2+C_3+D_3)=0[/tex3]

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[tex3]X+(A_2+D_2+A_3+D_3)=2\\X+1-(C_2+B_2)+1-(C_3+B_3)=2\\X-(C_2+D_2+C_3+D_3)=0[/tex3]

Sendo [tex3]Y[/tex3]

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[tex3]Y[/tex3]

a soma dos números escritos nos centros, ou seja, [tex3]Y=C_2+B_2+C_3+B_3[/tex3]

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[tex3]Y=C_2+B_2+C_3+B_3[/tex3]

temos
[tex3]X-Y=0\\\implies X=Y[/tex3]

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[tex3]X-Y=0\\\implies X=Y[/tex3]

Vamos observar as diagonais.
[tex3]A_1+B_2+C_3+D_4=1\\A_4+B_3+C_2+D_1=1\\\implies A_1+B_2+C_3+D_4+A_4+B_3+C_2+D_1=2\\(A_1+A_4+D_1+D_4)+(C_2+B_2+C_3+B_3)=2\\X+Y=2[/tex3]

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[tex3]A_1+B_2+C_3+D_4=1\\A_4+B_3+C_2+D_1=1\\\implies A_1+B_2+C_3+D_4+A_4+B_3+C_2+D_1=2\\(A_1+A_4+D_1+D_4)+(C_2+B_2+C_3+B_3)=2\\X+Y=2[/tex3]

Dessa forma, temos
[tex3]\begin{cases}X+Y=2\\X=Y\end{cases}\\\therefore\ \boxed{ X=Y=1}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}X+Y=2\\X=Y\end{cases}\\\therefore\ \boxed{ X=Y=1}[/tex3]

Espero ter ajudado .

[goncalves3718]

A soma dos centros não seria: [tex3]B2+B3+C2+C3[/tex3]

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[tex3]B2+B3+C2+C3[/tex3]

ao invés de [tex3]C2+C3+D2+D3[/tex3]

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[tex3]C2+C3+D2+D3[/tex3]

[deOliveira]

É isso mesmo, eu só escrevi errado, vou arrumar já.

[goncalves3718]

Ok, muito obrigado!