Página 1 de 1

(POTI) - Conceitos Iniciais de Geometria Olímpica

Enviado: Sex 10 Jan, 2020 19:47
por goncalves3718
Prove que um pentágono convexo tem três diagonais que são lados de um triângulo.

Re: (POTI) - Conceitos Iniciais de Geometria Olímpica

Enviado: Ter 14 Jan, 2020 14:51
por deOliveira
Basta que o maior lado seja menor que a soma dos outros dois lados, para provarmos que a figura é de fato um triângulo. Logo, suponhamos que a maior diagonal do pentágono [tex3]ABCDE[/tex3] seja [tex3]AD[/tex3] .

Analisando o quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3] :

[tex3]AC+BD>AD+BC[/tex3]

Note que [tex3]AD+BC> AD[/tex3]
Logo:

[tex3]AC+BD>AD+BC>AD[/tex3]
[tex3]AD<AC+BD[/tex3]

Portanto, está provada a desigualdade triangular para a maior diagonal. Então [tex3]AD,AC[/tex3] e [tex3]BD[/tex3] são lados de um triângulo.