Olimpíadas ⇒ (POTI) - Conceitos Iniciais de Geometria Olímpica Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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goncalves3718
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(POTI) - Conceitos Iniciais de Geometria Olímpica

Mensagem não lidapor goncalves3718 » Sex 10 Jan, 2020 19:47

Mensagem não lida por goncalves3718 »

Prove que um pentágono convexo tem três diagonais que são lados de um triângulo.


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deOliveira
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Re: (POTI) - Conceitos Iniciais de Geometria Olímpica

Mensagem não lidapor deOliveira » Ter 14 Jan, 2020 14:51

Mensagem não lida por deOliveira »

Basta que o maior lado seja menor que a soma dos outros dois lados, para provarmos que a figura é de fato um triângulo. Logo, suponhamos que a maior diagonal do pentágono [tex3]ABCDE[/tex3] seja [tex3]AD[/tex3] .

Analisando o quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3] :

[tex3]AC+BD>AD+BC[/tex3]

Note que [tex3]AD+BC> AD[/tex3]
Logo:

[tex3]AC+BD>AD+BC>AD[/tex3]
[tex3]AD<AC+BD[/tex3]

Portanto, está provada a desigualdade triangular para a maior diagonal. Então [tex3]AD,AC[/tex3] e [tex3]BD[/tex3] são lados de um triângulo.


Saudações.
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