Com o intuito de movimentar o forum pensei na gente resolver problemas de geometria que é a parte da matemática que o pessoal aqui aparentemente mais se interessa.
Seja ABC um triângulo e seja H o ortocentro e O o circuncentro do triângulo. Se \angle{ABH}=\angle{HBO}=\angle{OBC} e BH=BO determine a medida do ângulo \angle{A}
(i)Se n é um inteiro positivo tal que 2n+1 é um quadrado perfeito, mostre que n+1 é a soma de dois quadrados perfeitos sucessivos.
(ii)Se 3n+1 é um quadrado perfeito, mostre que n+1 é a soma de três...
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Questão (i)
Achei esse interessante, levou um tempinho. Se n\in\mathbb{^+Z^*} , e 2n+1=a^2 . Agora, perceba que, 2n+1 é ímpar, o que implica que a^2 é ímpar, logo a é ímpar.
Quarenta estudantes participaram de uma olimp´ıada de matem´atica. A
prova consistia de cinco problemas ao todo. Sabe-se que cada problema foi resolvido corretamente
por pelo menos 23 participantes....
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Há estudantes com 3 ou mais problemas resolvidos
Suponha por absurdo que ninguém escreveu mais de 2 soluções na prova, logo há 40\cdot 2=80 ou menos problemas resolvidos corretamente na Olimpíada....