(POTI)- Conceitos Inicias de Geometira
Enviado: Qui 09 Jan, 2020 20:52
Encontre um ponto dentro de um quadrilátero convexo tal que a soma das distâncias do ponto aos vértices é mínima.
Seja [tex3]ABCD[/tex3]
um quadrilátero convexo, com diagonais [tex3]AC [/tex3]
e [tex3]BD[/tex3]
, pense que o ponto [tex3]P[/tex3]
pode estar disposto em qualquer lugar na área de [tex3]ABCD[/tex3]
. Se [tex3]P[/tex3]
for o ponto de encontro das diagonais, teremos que [tex3]PA+PC= AC[/tex3]
. Caso não seja, temos [tex3]PA+PC>AC[/tex3]
(I). Logo temos [tex3]PA+PC \geq AC[/tex3]
.
Analogamente temos que [tex3]PB+PD\geq BD[/tex3]
(II)
Fazendo (I)+(II):
[tex3]PA+PB+PC+PD \geq AC+BD[/tex3]
Perceba que [tex3]PA+PB+PC+PD [/tex3]
será mínima, se [tex3]PA+PB+PC+PD =AC+BD[/tex3]
, e isso só acontecerá se [tex3]P[/tex3]
for o ponto de encontro das diagonais do quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3]
.