Olimpíadas ⇒ (POTI)- Conceitos Inicias de Geometira Tópico resolvido

[goncalves3718]

Encontre um ponto dentro de um quadrilátero convexo tal que a soma das distâncias do ponto aos vértices é mínima.

[deOliveira]

Seja [tex3]ABCD[/tex3]

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[tex3]ABCD[/tex3]

um quadrilátero convexo, com diagonais [tex3]AC [/tex3]

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[tex3]AC [/tex3]

e [tex3]BD[/tex3]

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[tex3]BD[/tex3]

, pense que o ponto [tex3]P[/tex3]

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[tex3]P[/tex3]

pode estar disposto em qualquer lugar na área de [tex3]ABCD[/tex3]

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[tex3]ABCD[/tex3]

. Se [tex3]P[/tex3]

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[tex3]P[/tex3]

for o ponto de encontro das diagonais, teremos que [tex3]PA+PC= AC[/tex3]

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[tex3]PA+PC= AC[/tex3]

. Caso não seja, temos [tex3]PA+PC>AC[/tex3]

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[tex3]PA+PC>AC[/tex3]

(I). Logo temos [tex3]PA+PC \geq AC[/tex3]

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[tex3]PA+PC \geq AC[/tex3]

.
Analogamente temos que [tex3]PB+PD\geq BD[/tex3]

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[tex3]PB+PD\geq BD[/tex3]

(II)

Fazendo (I)+(II):

[tex3]PA+PB+PC+PD \geq AC+BD[/tex3]

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[tex3]PA+PB+PC+PD \geq AC+BD[/tex3]

Perceba que [tex3]PA+PB+PC+PD [/tex3]

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[tex3]PA+PB+PC+PD [/tex3]

será mínima, se [tex3]PA+PB+PC+PD =AC+BD[/tex3]

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[tex3]PA+PB+PC+PD =AC+BD[/tex3]

, e isso só acontecerá se [tex3]P[/tex3]

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[tex3]P[/tex3]

for o ponto de encontro das diagonais do quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3]

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[tex3]ABCD[/tex3]

.