Olimpíadas

Dados os pontos colineares e consecutivos [tex3]A, B, C, D[/tex3] e [tex3]E[/tex3] , tal que [tex3]AB + CD = 3 × BC [/tex3] e [tex3]DE = AB[/tex3] . Sendo [tex3]M[/tex3] o ponto médio de [tex3]BE[/tex3] , onde [tex3]MD = 2[/tex3] e [tex3]AE = 16[/tex3] , calcule [tex3]MC[/tex3] .

Mensagem não lidapor **rodBR** » Sáb 11 Jan, 2020 20:07 · Mensagem não lida por **rodBR** » Sáb 11 Jan, 2020 20:07

Eis uma solução com a contribuição do colega goncalves3718 na conclusão final (em negrito).

Solução:
[tex3]\begin{cases}
DE=AB\\
AB+CD=3BC\\
M \ é \ ponto \ médio \ de \ BE\\
AE=16\\
MC=?\end{cases}[/tex3]

Assim, temos:
[tex3]BE=16-AB[/tex3] [tex3]M[/tex3] é ponto médio de [tex3]BE[/tex3]
[tex3]ME=\frac{16-AB}{2}\\
MD+DE=\frac{16-AB}{2}\\
MD+AB=\frac{16-AB}{2}\\
2+AB=\frac{16-AB}{2}\\
4+2AB=16-AB\\
3AB=12\\
\boxed{AB=4}[/tex3]
Mas,
[tex3]AB+CD=3BC\\
4+CD=3\cdot(8-CD)\\
4+CD=24-3CD\\
4CD=20\\
\boxed{CD=5}[/tex3]
Como [tex3]BC=8-CD[/tex3] , então:
[tex3]BC=8-5\\
\boxed{BC=3}[/tex3]

Agora, falta avaliar a localização do ponto [tex3]M[/tex3] em relação ao ponto [tex3]C[/tex3].
Temos que [tex3]BE= BC+CD+DE\implies BE=12[/tex3].
Como [tex3]CE= CD+DE\implies CE=9[/tex3].
[tex3]M[/tex3] é ponto médio de [tex3]BE[/tex3], assim [tex3]M[/tex3] está a direita de [tex3]C[/tex3]
De [tex3]M[/tex3] ser ponto médio temos que [tex3]ME=6[/tex3].
Então, [tex3]BM=BC+CM\implies \boxed{\boxed{MC=3}}[/tex3]

Muito obrigado pela ajuda rodBR

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